典型例题一
x2y2??1共渐近线且过A23，例1 求与双曲线?3点的双曲线方程及离心率． 169??3x2y2??1的渐近线方程为：y??x 解法一：双曲线
4169x2y2（1）设所求双曲线方程为2?2?1
ab∵
3b3?，∴b?a ①
4a4∵A23，?3在双曲线上 ∴
??129?2?1 ② 2ab由①－②，得方程组无解
y2x2（2）设双曲线方程为2?2?1
ab4b3?，∴b?a ③
3a4912∵A23，?3在双曲线上，∴2?2?1 ④
ab922由③④得a?，b?4
4∵
??y2x25??1且离心率e? ∴所求双曲线方程为：9344x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程为：??????0? 解法二：设与双曲线
169169∵点A23，?3在双曲线上，∴????1291??? 1694y2x2x2y21?1． ???，即?∴所求双曲线方程为：
9416944说明：（1）很显然，解法二优于解法一．
x2y2x2y2??1共渐近线的双曲线方程??????0?． （2）不难证明与双曲线
169169
一般地，在已知渐近线方程或与已知双曲线有相同渐近线的条件下，利用双曲线系方程
x2y2??????0?求双曲线方程较为方便．通常是根据题设中的另一条件确定参数?． a2b2（3）以上优美巧妙的解法，达到了化繁为易的目的．教学中，要引起重视．
典型例题二
例2 作方程y?1?x2的图象．
?1?x2?2分析：∵y?1?x??2??x?1?x?1?
?x?1?∴方程图象应该是圆x2?y2?1及双曲线x2?y2?1在x轴上方的图象．
说明：在根据方程作出相应图象时，应遵循：“如果曲线C的方程是f?x，y??0，那么点P?x0，y0?在曲线C上的充要条件是f?x0，y0??0”这一原则；另外，须注意方程变形的未知数的允许值可能会扩大，而原方程的曲线只能取原方程允许值范围内的那一部分．
典型例题三
例3 求以曲线2x?y?4x?10?0和y?2x?2的交点与原点的连线为渐近线，且实轴长为12的双曲线的标准方程．
分析：先求出渐近线方程，确定出其斜率，结合已知条件确定所求双曲线方程中的字母系数．
22??x?3?x?32?2x?y?4x?10?0解：∵?2，∴?或?，∴渐近线方程为y??x
3??y?2?y??2?y?2x?2222当焦点在x轴上时，由
b2?且a?6，得b?4． a3x2y2??1 ∴所求双曲线方程为
3616当焦点在y轴上时，由
a2?，且a?6，得b?9． b3
y2x2??1 ∴所求双曲线方程为
3681说明：（1）“定量”与“定位”是求双曲线标准方程的两个过程，解题过程中应准确把握．
（2）为避免上述的“定位”讨论，我们可以用有相同渐近线的双曲线系方程去解，请读者自行完成．
典型例题四
例4 已知双曲线的渐近线方程为3x?2y?0，两条准线间的距离为
1613，求双曲13线标准方程．
分析：可根据双曲线方程与渐近线方程的关系，设出双曲线方程，进而求出双曲线标准方程．
2x2y2??1???0? 解：∵双曲线渐近线方程为y??x，∴设双曲线方程为
34?9?22（1）若??0，则a?4?，b?9?
a2413813?1613∴准线方程为：x??，∴??4 ???，∴?c13131322（2）若??0，则a??9?，b??4?
64a29?13?18?13?1613???∴准线方程为：y??，∴，∴???
81c131313x2y29y281x2??1或??1 ∴所求双曲线方程为：
163664256说明：
（1）准确及进地应用有相同渐近线的双曲线系方程给我们的求解过程带来了方便． （2）通过待定系数法求出参数N．
典型例题五
，0?的双曲线，其实轴长与虚轴长之比为m，求双曲例5 中心在原点，一个焦点为F?1线标准方程．
?2m2?a?b?c?1a?2?x2y2??m?1
解：设双曲线的标准方程为2?2?1，则?2a，解得?ab?b2?1??m?2b?m2?1?222x2y2??1为所求双曲线的标准方程． ∴21m2m2?1m?1说明：以上方法是求双曲线标准方程的通用方法，注意其中的运算技巧．
典型例题六
例6 求中心在原点，对称轴为坐标轴经过点P?1，?3?且离心率为2的双曲线标准方程．
x2y21??3???1?k?0?，则?解：设所求双曲线方程为：?1，
kkkk219y2x2??1 ∴??1，∴k??8，∴所求双曲线方程为
kk88说明：
（1）以上巧妙简捷的设法是建立在一个事实的基础上的，即离心率e?等轴双曲线的充要条件，它的证明如下：
222设等轴双曲线x?y?m?m?0?，则a?b?m，∴c?a?b?2m
22222222是双曲线的
∴c?2m，∴e?c2m??2 am反之，如果一个双曲线的离心率e?∴
2．
c?2，∴c?2a，c2?2a2，∴a2?b2?2a2，∴a2?b2，a?b a∴双曲线是等轴双曲线
（2）还可以证明等轴双曲线的其他性质：两条渐近线互相垂直；等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项等．
典型例题七
1y2?1上求一点P，使PA?PF的例7 已知点A?3，0?，F?2，0?，在双曲线x?232值最小．
解：∵a?1，b?3，∴c?2，∴e?2 设点P到与焦点F?2，0?相应准线的距离为d则
PFd?2
11PF?d，∴PA?PF?PA?d 22至此，将问题转化成在双曲线上求一点P， 使P到定点A的距离与到准线距离和最小．
即到定点A的距离与准线距离和最小为直线PA垂直于准线时，
∴
解之得，点P??21?2??3，?．
??说明：灵活巧妙地运用双曲线的比值定义于解题中，将会带给我们意想不到的方便和简
单．教学中应着重培养学生灵活运用知识的能力．
典型例题八
x2y2例8 已知：M?x1，y1?是双曲线2?2?1上一点．求：点M到双曲线两焦点F1、
abF2的距离．
分析：利用双曲线的第二定义．
解：如图，设点M到相应焦点F1、F2的准线的距离为d1、
d2．
当M点在双曲线的右支上时，x1?a，且有
MF1d1?MF2d2?e
a2a2∴MF1?ed1?ex1??ex1?a，MF2?ed2?ex1??ex1?a
cc