当点M在双曲线的左支上时，x1??a，且有
MF1d1?MF2d2?e
a2a2∴MF1?ed1?ex1????ex1?a?，MF2?ed2?ex1????ex1?a?
cc说明：以上结论称为双曲线的焦点半径公式，它在解题过程中发挥着很大的优越性，可
使解题过程的运算量简化，从而得到避繁就简效果．例如：
x2y2???1的一支上有三个不同点A?x1，y1?、B2?x2，在双曲线6?、C?x3，y3?与焦1312点F1?0，5?的距离成等差数列，求y1?y3的值．
解：直接利用焦半径公式，得：AF1?ey1?a，BF1?6e?a，CF1?ey3?a ∴AF1?CF1?2BF1，∴e?y1?y3??2a?12e?2a，即y1?y3?12
注意：一般地，在涉及到双曲线上的点到焦点的距离问题，应用焦半径公式是一种简单快捷的方法．
典型例题九
例9 如图所示，已知梯形ABCD中，AB?2CD，点E满足AE??EC，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点，当
23???时，求双曲线离心率的取值范围． 34分析一：依题意，建立恰当的坐标系，并通过A、B、E的坐标及双曲线的方程求解．
解法一：以直线AB为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，则
CD?y轴，因双曲线过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性可知C、D关
于y轴对称．
设A??c，0?、C?，h?、E?x0，y0?，其中c?的高．
由AE??EC，即?x0?c，y0?????c?2??1AB为双曲线的半焦距，h是梯形2???2?c，y??h ?c??x0，h?y0?，得x0?01??2?1????2?cx2y2设双曲线方程为2??1，则离心率为e?．
aab2由点C、E在双曲线上，将C、E的坐标和e?c，代入双曲线方程得 a
?e2??4?2?e??4h2?2?1b222①
???2????h?????2?1②???1????1?bh2e2e2?1，将③代入②式中，整理得：?4?4???1?2? 由①得2?b44∴??1?323233????1??，又∵，∴，∴7?e?10 22e?2343e?24∴双曲线的离心率取值范围为
?7，10?．
分析二：建立直线AC方程，再与双曲线方程联立，借助一元二次方程根与系数关系解
题．
解法二：前面部分同解法一．
可求得直线AC方程为y?2h?x?c?，将其代入双曲线方程b2x2?a2y2?a2b2中，3c得9b2c2?4a2h2x2?8a2h2cx?4a2h2?9a2b2c2?0
????cc4a2h2?9a2b2c2又∵x0、为上述二次方程的两根，∴?x0? ① 2222224ah?9bc又∵C?，h?在双曲线上，∴4h?be?4 ②
???c?2??22?2?∵x0????2?c ③ 2???1????2?cca2?e2?4?b2?9a2b22将②③代入①中，得：??22?c 2222???1?2a?e?4?b?9ac∵e?c3，∴??1?2 ae?2以下同解法一
分析三：借助焦半径公式解题． ∵AE??EC，∴x0????2?c ① 2???1??a?ex0? ② ?c1??a?e?2∴
EACA??1??，由焦半径公式，得：
????2??c??a??e?2???1??????
将①代入②，得：
c1??a?e?2∵e?c3，∴??1?2 ae?2以下同解法一 说明：
（1）此题的关键是：弄清应设定几个量之间关系（如：c、h、?、e）．难点：如何自始至终保持思路清晰，有条不紊．
（2）比较以上三种方法不难发现：解法二虽思路简单自然，但由于采取了联立方程消元的思想，也就导致了解题过程的运算繁琐，这对于学生的计算能力要求是很高的，解法三因巧妙地运用了焦半径公式，使得求解过程变得简洁快捷，而且给人以一种心满意足的感觉，这表明善于记忆一些中间结果对我们的学习帮助很大．
典型例题十
x2y2例10 设双曲线2?2?1(0?a?b)的半焦距为c，直线l过(a,0)、(0,b)两点，
ab且原点到直线l的距离为
3c，求双曲线的离心率． 4分析：由两点式得直线l的方程，再由双曲线中a、b、c的关系及原点到直线l的距离建立等式，从而解出
c的值． a解：由l过两点(a,0)，(0,b)，得l的方程为bx?ay?ab?0．
由点到l的距离为
3ab3c，得?c．
2244a?ba22a2将b?c?a代入，平方后整理，得16(2)?16?2?3?0．
cc2231a22令2?x，则16x?16x?3?0．解得x?或x?．
44c而e?c，有e?a123．故e?或e?2．
3xca2?b2b2因0?a?b，故e???1?2?2，
aaa
所以应舍去e?23．故所求离心率e?2． 323．其原因是未注意到题设条件3说明：此题易得出错误答案：e?2或e?(0?a?b)，从而离心率e?2．而
23?2，故应舍去． 3典型例题十一
例11 根据以下条件，分别求出双曲线的标准方程．
(1)过点P(3,?2)，离心率e?5． 2(2)已知双曲线的右准线为x?4，右焦点为F(10,0)，离心率e?2．
(3)F1、F2是双曲线的左、右焦点，P是双曲线上一点，且?F1PF2?60?，
S?PF1F2?123，又离心率为2．
分析：(1)、(3)用待定系数法，(2)用定义法．
解：(1)依题意，双曲线的实轴可能在x轴上，也可能在y轴上，分别讨论如下．
x2y2如双曲线的实轴在x轴上，设2?2?1为所求．
abc255由e?，得2?． ①
a4292??1． ② 22ab122222又a?b?c，由①、②得a?1，b?． ③
4由点P(3,?2)在双曲线上，得
x2y2若双曲线的实轴在y轴上，设2?2?1为所求．
ab29c25222同理有2?，2?2?1，a?b?c．
a4ab解之，得b??217（不合，舍去）． 222∴双曲线的实轴只能在x轴上，所求双曲线方程为x?4y?1．
(2)设双曲线上任意一点P(x,y)，因为双曲线右准线x?4，右焦点F(10,0)，离心
率e?2，根据双曲线的第二定义，有
(x?10)2?y2?2，化简，得
x?43x2?y2?12x?36?0，
(x?2)2y2??1． 即
1648(x?2)2y2??1． ∴所求双曲线方程为
1648cx2y2(3)设双曲线方程为2?2?1，因F1F2?2c，而e??2，由双曲线的定义，得
aabPF1?PF2?2a?c．
由余弦定理，得
(2c)2?PF1?PF2?2PF1?PF2?cos?F1PF2
2?(PF?PF)?2PF121?PF2?(1?cos60?)，
22∴4c?c?PF1?PF2． 又S?PF1F2?221PF1?PF2sin60??123， 2∴PF1?PF2?48．
∴3c?48，c?16，得a?4，b?12．
2222x2y2??1． ∴所求双曲线的方程为
412说明：
对于本题(1)的解法，由于双曲线的焦点位置没有明确，若不分情况讨论，将会造成解法的片面性．
a2?4，得a2?40，对于题(2)，容易造成以下三种误解：误解一：由c?10，x?cx2y2??1． 则b?c?a?60．故所求双曲线方程为
4060222