(2)设A1(x1,y1)，B1(x2,y2)；由方程①可得
22k2k?1． x1?x2?21，x1x2?12k1?1k1?1∴A1B12224(1?k1)(3k1?1)?(1?k1)(x1?x2)2? ③ 2(k1?1)2222同理，由方程②可得
A2B224(1?k2)(3k2?1)． ④ ?22(k2?1)1，代入④得 k12222∵k2??A2B224(1?k1)(3?k1)． ⑤ ?22(1?k1)由A1B1?5A2B2，得
A1B1?5A2B2．
将式③和式⑤代入得
224(1?k1)(3k1?1)(k1?1)2222?5?4(1?k1)(3?k1)(1?k1)2222．
解得k1??2．
当k1?2时，l1：y?2(x?2)，l2：y??2(x?2)； 22(x?2)． 2当k1??2时，l1：y??2(x?2)，l2：y?(3)双曲线y?x?1的顶点为(0,1)，(0,?1)． 取A1(0,1)时，有k1(0?2)?1，解得k1?将k2??2代入方程②得
2212，于是k2????2．
k12x2?42x?3?0．
设l2与双曲线的两个交点A2(x3,y3)，B2(x4,y4)，则
x3?x4??42，x3x4?3．
则A2B22?(1?k2)(x3?x4)2
2?(1?k2)[(x3?x4)2?4x3x4] ?3[(?42)2?4?3]?60．
∴A2B2?215．
当取A1(0,?1)时，由双曲线关于x轴对称，知A2B2?215．
说明：
(1)直线与曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式?，则有：
??0?直线与双曲线相交于两个点； ??0?直线与双曲线相交于一个点； ??0?直线与双曲线无交点．
若得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．
(2)直线l被双曲线截得的弦长AB?(1?k)(x1?x2)或(1?2221)(y1?y2)2，其中2kk是直线l的斜率，(x1,y1)，(x2,y2)是直线与双曲线的两个交点A，B的坐标，且
(x1?x2)2?(x1?x2)2?4x1x2，x1?x2，x1x2可由韦达定理整体给出．
典型例题十六
例16 已知双曲线的渐近线方程是3x?4y?0，3x?4y?0，求双曲线的离心率． 分析：由渐近线的斜率与a，b的关系得到a，c的关系，从而求出e．
x2y2解：(1)设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)．
ab∵渐近线方程为3x?4y?0，3x?4y?0， ∴
b3?． a4bb2c2?a22又∵???e?1， 22aaa
∴e?1?253．∴e?．
44y2x2(2)设双曲线方程为2?2?1(a?0,b?0)．
ab∵渐近线方程为3x?4y?0，3x?4y?0，
a3?． b4b4522∵?e?1，∴e?1?，e?． a3355∴离心率e?或e?．
43∴说明：
x2y2(1)必须分两种情况求离心率，共渐近线的双曲线方程为：2?2??(??0)的形式，
ab它们的渐近线为y??bx． a(2)关于双曲线的渐近线，可作如下小结：
x2y2y2x2若知双曲线方程为2?2?1或2?2?1，则它们的渐近线方程只需将常数“1”
abab换成“0”，再写成直线方程的形式即可；
x2y2若知双曲线的两渐近线，先写成一个方程即2?2?0的形式，再设出双曲线方程
abx2y2???(??0)； a2b2离心率e?焦矩长；
实轴长若焦点在x轴上，渐近线斜率为虚轴长比实轴长；若焦点在y轴上，渐近线斜率为实轴长比虚轴长．
典型例题十七
例17 已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以A(2,0)为圆心，1为半径的
'圆相切，双曲线S的一个顶点A和A关于直线y?x对称，设直线l过点A，斜率为k．
(1)求双曲线S的方程；
(2)当k?1时，在双曲线S的上支求点B，使其与直线l的距离为2；
(3)当0?k?1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2，求斜率k的值及相应的点B的坐标．
分析：本题考查的内容多，其中有直线与圆相切，关于直线y?x的对称点，双曲线的性质，点到直线的距离等等，如果采取各个击破的办法，那么问题便能解决．
解：(1)由已知得双曲线的渐近线为y??x，
因而S为等轴双曲线，其中一个顶点为A'(0,2)，
y2x2??1． 所以双曲线S的方程为22(2)若B(x,x2?2)是双曲线S的上支上到直线l：y?x?2的距离为2的点，
?2，解得x?2，y?2．故B点坐标为(2,2)．
x?x2?2?2则
2(3)因为当0?k?1时，双曲线S的上支在直线l的上方，所以点B在直线l的上方．
设直线l与直线l：y?k(x?2)平行，两线间的距离为2，
直线l在直线l的上方，双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为2， 等价于直线l与双曲线S的上支有且只有一个公共点．
'''''设l的方程是y?kx?m，由l上的点A到l的距离为2，可知解得m?2(?k2?1?k)，其中m?2(?k2?1?k)舍去．
2k?mk?12?2，
由方程y?x?2及y?kx?m，消去y得，(k?1)x?2mkx?m?2?0． ∵k?1，∴??4(m2?2?2k2)?8k(3k?2k2?1)． 令??0．∵0?k?1，解得k?0，k?当k?0时，m?2，解得x?0，y?22222225． 52，∴点B的坐标为(0,2)．
当k?2510时，m?，解得x?22，y?10，∴点B的坐标为(22,10)． 55说明：若已知双曲线渐近线方程为px?qy?0，则共渐近线的双曲线方程为
x2y2?2??，其中?为不等于零的常数，另外要善于把问题转化，(3)便是把原题转化为2qp
l'：y?kx?m与双曲线S上支有且只有一个公共点问题．
典型例题十八
例18 如下图，给出定点A(a,0)(a?0)和直线l：x??1，B是直线l上的动点，
?BOA的角平分线交AB于C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的
关系．
分析：根据曲线的条件求轨迹方程，是解析几何的手段．要认真分析角平分线这一重要条件，分清主动点与从动点的关系，综合利用所学知识求出C点横坐标与纵坐标的关系．
解：依题意，记B(?1,b)，b?R，则直线OA与OB的方程分别为y?0和y??bx， 设C点坐标为(x,y)，则有0?x?a，
由OC平分?AOB，知点C到OA、OB距离相等，根据点到直线的距离公式， 得：y?y?bx1?b2 ①
依题设，点C在直线AB上，故有y??由x?a?0，得，b??2b(x?a)． 1?a(1?a)y ②
x?a2?(1?a)2y2??(1?a)xy??y?将②式代入①式，得y?1?2???． (x?a)x?a????整理得：y[(1?a)x?2ax?(1?a)y]?0，
22若y?0，则(1?a)x?2ax?(1?a)y?0．(0?x?a)
222若y?0，则b?0，?AOB??，点C的坐标为(0,0)，满足上式．
22综上，得点C的轨迹方程为：(1?a)x?2ax?(1?a)y?0(0?x?a) 2(1)当a?1时，轨迹方程化为y?x(0?x?1) ③
此时，方程③表示抛物线弧段