误解二：由焦点坐标F(10,0)，知c?10．又e?222c?2，得a?5．故ax2y2?1． b?c?a?100?25?75．∴所求双曲线方程为?2575ca2?4，得a?8，c?16，则b2?c2?a2?192．故所求双误解三：由e??2，
acx2y2??1． 曲线方程为
64192这三种误解的错因都是按双曲线中心在原点得出结论，造成遗漏题条件，从而导致错误的结果．
题(3)虽属待定系数法，但要用到公式a2?b2?(a?b)2?2ab和双曲线的定义，以及正弦定理、余弦定理等知识，具有较强的综合性．若在其中某个环节上出现错误，将无法得出正确结果．
典型例题十二
y2x2??1的一支上有三个点A(x1,y1)、B(x2,6)、C(x3,y3)与焦例11 在双曲线
1213点F(0,5)的距离成等差数列．
(1)求y1?y3；
(2)求证线段AC的垂直平分线经过某个定点，并求出定点的坐标． 分析：利用双曲线的第二定义解(1)，利用点差法结合(1)的结果证(2)． 解：(1)依题意，得B在双曲线上支上，
故A、B、C三点都在双曲线上支上，且上准线的方程为y?12． 5AF、BF、CF成等差数列，根据双曲线的第二定义，得
212112112(6?)?(y1?)?(y3?)，故y1?y3?12． e5e5e5yxyx(2)由点A、C在双曲线上，故1?1?1，3?3?1．
12131213两式相减，得
2222(y1?y3)(y1?y3)(x1?x3)(x1?x3)??0．
1213∴
y1?y312(x1?x3)x1?x3??．
x1?x313(y1?y3)13
∴AC的垂直平分线的斜率为?13．
x1?x3又AC的中点坐标为(x1?x3,6)，故AC的垂直平分线方程为 2y?6??x?x13(x?13)
x1?x322525)． ，故AC的垂直平分线过定点(0,22当x?0时，y?说明：
1．本题属定值问题，存在的问题是一方面对定值的概念和求法弄不清楚，摸不出头绪；论另一方面不会运用式子的变换和曲线的定义．
2．关于定值问题，一般通过计算证明其值与曲线的点的位置无关，或与直线的斜率无关．为了证明的目的更明确，可通过特殊情况，求出一个常数，猜想出这个定值．不同的设法，可以得到不同的证法．
典型例题十三
x2y2例13 已知双曲线2?2?1的离心率e?1?2，左、右焦点分别为F1、F2，左
abP到l的距离d与PF2的等比准线为l，能否在双曲线的左支上找到一点P，使得PF1是
中项？
分析：因题设中出现双曲线上点与焦点的距离，故可考虑用双曲线的第二定义解题．
解：设在左半支上存在P点，使PF1?PF2?d，由双曲线的第二定义，知
2PF1d?PF2PF1?e，即PF2?ePF1． ①
再由双曲线的第一定义，得
PF2?PF1?2a． ②
由①、②，解得PF1?2a2ae，PF2?． e?1e?1在?PF1F2中，有PF1?PF2?2c，
2a2ae??2c． ③ e?1e?1c2利用e?，从③式得e?2e?1?0．
a∴
解得1?2?e?1?2．
由e?1，得1?e?1?2，与已知e?1?2矛盾．
∴符合条件的点P不存在． 说明：
(1)解答探索性命题，一般可先设点P存在，再利用已知条件探求．若得出矛盾，则说明P点不存在；否则，便得到P点的位置．
x2y22(2) 1?e?1?2是双曲线2?2?1左支上存在P点，使PF1?PF2?d成立的
ab充要条件．
典型例题十四
例14 直线y?kx?1与双曲线x2?y2?1的左支相交于A，B两点，设过点(?2,0)和AB中点的直线l在y轴上的截距为b，求b的取值范围．
分析：首先应写出直线l的方程，因此需求出AB的中点坐标，将直线y?kx?1与双曲线方程x2?y2?1联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理可得到AB中点的坐标表达式．
解：由方程组??y?kx?1,?x?y?1,22消去y得
(1?k2)x2?2kx?2?0． ①
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB中点的坐标为(x0,y0)． ∵直线y?kx?1与双曲线x?y?1的左支相交于A，B两点， ∴方程①有两个不大于-1的不等实根．
22???(?2k)2?8(1?k2)?0,??k22?0,令f(x)?(1?k)x?2kx?2，则? 2?1?k2?(1?k)?f(?1)?0,?解得1?k?2，
x2?x2k1?y?kx?1?，． 0021?k21?k2y?ox?2∴直线l的方程是 ?1k?0?2221?k1?kx0?
令x?0，得b?y?21． ??2k2?k?2?(k?1)2?17416∵1?k?2，
∴b?2?2或b?2．
说明：
(1)涉及直线与双曲线相交弦有关的参数范围的讨论问题，??0是必不可少的条件． (2)关于直线与双曲线的某一支的相交问题，不但要考虑??0，同时要考虑方程根的取
x2y2值范围，以下以双曲线2?2?1(a?0,b?0)为例作简单说明．
ab?直线方程?2?xy2?2?2?1?ab关于x的一元二次方程mx?nx?s?0．
2?m?0且??0,?①若直线与双曲线右支相交于不同两点，则其充要条件是?x1?x2?0,
?xx?0.?12?m?0且??0,?②若直线与双曲线左支相交于不同两点，则其充要条件是?x1?x2?0,
?xx?0.?12?m?0且??0,③若直线与双曲线不同两支交于两点，则其充要条件是?
xx?0.?12
典型例题十五
例15 已知l1，l2是过点P(?2,0)的两条互相垂直的直线，且l1，l2与双曲线
y2?x2?1各有A1，B1和A2，B2两个交点．
(1)求l1的斜率k1的取值范围； (2)若A1B1?5A2B2，求l1，l2的方程；
(3)若A1恰是双曲线的一个顶点，求A2B2的值．
分析：第(1)小题利用直线l1，l2与双曲线都有两个交点，从而可以转化为一元二次方
程有两个不等实根，判别式大于零，由此可以得到k1满足的不等式组；
第(2)小题利用弦长公式求k1，再由点斜式方程求出直线方程； 第(3)小题利用直线l1过A点求k1，再由弦长公式求A2B2．
解：(1)依题意，直线l1，l2的斜率都存在，设l1的方程为y?k1(x?2)(k1?0)直线l2的方程为y?k2(x?2)(k2?0)，且k1k2??1．
??y?k1(x?2),由方程组?消去y，整理得
22??y?x?1,222(k1?1)x2?22k1x?2k1?1?0 ①
若k1?1?0，则方程①只有一个解，即l与双曲线只有一个交点，与题设矛盾． 故k1?1?0，即k1?1．
∵直线l1与双曲线有两个不同交点，
∴?1?(22k1)2?4(k1?1)(2k1?1)?4(3k1?1)?0．
222222??y?k2(x?2),由方程组?消去y，整理得
22??y?x?1,222(k2?1)x2?22k2x?2k2?1?0 ②
同理k2?1?0，?2?4(3k2?1)?0．
22?3k12?1?0,?2?3k2?1?0,?所以l1，l2与双曲线各有两个交点，等价于?k1?1,
??k2?1,?kk??1,?12?3?k1?3,?解得?3
?k?1.?1∴k1?(?3,?1)?(?1,?33)?(,1)?(1,3)． 33