本科生毕业论文设计
题目 函数的极限与连续
作者姓名 程雅 指导教师 谢永红 所在学院 数学与信息科学学院 专业（系） 数学与应用数学 班级（届） 07级c班
完成日期 2011 年 4 月 25 日
河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述
数学分析与初等代数的根本区别在于引入了极限运算（微分与积分的实质也是极限运算），数学分析中几乎所有的内容都离不开极限，极限理论是数学分析的基础，数学分析主要研究微分和积分，而极限又是微积分学大厦的基石，可以说没有充分的极限理论，就不可能有今天数学蓬勃发展的局面。如今数学分析已经成为一门重要的数学分支，对整个数学的面貌的改变起到了不可磨灭的贡献。微积分作为一种重要的数学工具，已经渗透到科学的各个领域。作为微积分基石的极限理论也随着科学技术的发展而发展，极限理论为整个科学提供了一个强大工具。因此极限的内容以及求极限的方法尤为重要，有必要对极限理论中的基础知识以及求极限的方法进行研究和总结。连续函数是数学分析着重讨论的一类函数，连续以及一致连续的问题也是数学分析中要着重理解的问题，因此本文也研究了连续函数的性质以及一致连续函数的判定方法。本文介绍了求函数极限的一些常用的方法：定义法，用定义法关键是找到?(?)，通常找?(?)的方法有求最大的?；适当放大法和分步法。另外求函数极限除了根据定义以外，柯西收敛准则也是一种很好的方法，不需要知道函数的极限，即可判断函数极限的收敛性或发散性。有些函数的极限还可以根据函数的性质来求．常用的判别方法有迫敛性和四则运算法。另外，本文还提供了求函数极限的归结原则、洛必达法则、等价无穷小替换、对数法、变量替换等方法，并研究了关于函数连续以及一致连续的判别方法，便于读者对函数一致连续的深刻理解，并为以后的学习奠定了基础． 为了写好文章我着重查阅参考了以下文献:高等教育出版社出版、华东师范大学数学系编写的《数学分析》上册第三版,此书在求函数极限方法上，重点介绍了定义法、归结原则、洛必达法则、等价无穷小替换、重要极限等方法．另外，本书还详细阐述了函数极限以及一致连续函数的性质．黄永辉编写的《数学分析选讲》详细阐述了求函数极限的若干方法并给出了详细的证明。钱吉林编写的《数学分析题解精粹》此书在函数极限的概念、性质、求法以及函数连续与一致连续的知识上对问题进行总结、分析、归纳、举例,在提升知识,解析疑难的基础上用大量的例题为读者诠释概念、演绎技巧、举证方法,使读者通过例题边分析、边联系、边讨论、边总结,从而更好的融会知识,理解概念,熟悉技巧和掌握方法,将书本上的抽象理论真正化为自己的切实有用的知识. 汪文瑞，李本庆写的“一
致连续的判定”一文，对一致连续的相关问题进行了分类汇总，提供了解决相关问题的基本方法和解题思路，便于我们对一致连续问题的深刻理解。
河北师范大学本科生毕业论文（设计）翻译文章
出自《数学分析原理》（第三版） （美）Walter Rudin著 北京：机械工业出版社，2004.1. 函数的极限 4.1 定义 令X和Y是度量空间，假设E?X，f将E映入Y内，且p是E的极限点。凡是我们写当x?p时f(x)?q,或 limf(x)?q （1） x?p的时候，就是存在一个点q?Y具有以下的性质：对于每个?>0，存在着?>0，使得 dY(f(x),q)?? （2） 对于满足 0?dx(x,p)?? （3） 的一切点x?E成立。 记号dX和dY分别表示X和Y中的距离。 如果X和（或）Y换成直线，复平面或某一欧式空间Rk，那么，距离dX和dY自然该换成绝对值或相应的范数。 应当注意p?X，但是上面的定义中，并不一定要求p是E的点。此外，即使p?E,也完全可能f(p)≠limf(x). x?p 我们还可以将这个定义用序列的极限改述为： 4.2 定理 令X,Y,E,f和p是定义4.1说的那些，那么 limf(x)?q （4） x?p当且仅当 limf(pn)?q （5） n??对于E中合于 pn?p，limpn?p （6） n??的每个序列?pn?成立。
证：假定（4）成立，取E中满足（6）的?pn?，给定了??0，那么就有??0，使得当x?E且0?dX(x,p)??时，dY(f(x),q)??。同样又有N使得当n>N时，0?dX(pn,p)??。这样，对于n>N，我们有dY(f(pn),q)??。这就证明了（5）成立。 反过来 ，假定（4）不成立，这时便有某个??0，使得对于每个??0，都有点x?E（依赖于?），对这个x来说，dY(f(x),q)??但0?dX(x,p)??。取1，（n=1,2,3…）我们就在E中找到一个满足（6），但使（5）式不成立的n序列。 推论 如果f在p有极限，那么这极限是唯一的。 4.3 定义 设有定义在E上的两个复函数f和g，我们用f+g表示一个函数，它给E的每个点x配置的数是f(x)+g(x)。我们用类似的方法定义两个函数的差f-g，?n?积fg及商f/g,约定商只定义在E的那些使g(x)≠0的点x上。如果f给E的每点或者简单地叫做一个常数，并记x配置同一个数c,那么f就叫做一个常数函数，作f=c.设f和g都是实函数，如果对于每个x?E来说f(x)?g(x),那么有时为了方便，就记作f?g. 类似地，如果f和g把E映入Rk内，便用 (f+g)(x)=f(x)+g(x),(f·g)(x)=f(x)·g(x) 来定义f+g及fg;再若?是实数，便定义(?f)(x)??f(x). 4.4 定理 假设E?X，X是度量空间，p是E的极限点，f与g是E上的复函数，而且 limf(x)?A,limg(x)?B x?px?p那么 (a)lim(f?g)(x)?A?B, x?p (b)lim(fg)(x)?AB, x?p (c)lim(f/g)(x)?A/B,假定B≠0. x?p连续函数 4.5 定义 设X和Y是度量空间，E?X，p?E,并且f将E映入Y内，如果对于每一个??0，总存在??0，对于一切满足dX(x,p)??的点x?E来说， dY(f(x),f(p))??