=e
1??例28.求极限：limn?e?(1?)n?
n??n??1 解：令t=
n?121?? limn?e?(?1n?)
n??n??1? =lim?e?et?0t?t?ln(1?t)t?? ? =limt?0e?et2?o(t2)2tte?eto(t2)1??2t
=limt?0t1?eto(t2)??2t
=elimt?0t
t??o(t) =-elim2
t?0t1 =-e×(-)
21 =e
22.2.13因式分解法：
要点：如果可以通过因式分解将变量化简或转化为已知的极限，即可利用此方法求变量极限。
4sin2x?3sinx?1例29.求极限：lim ?sin2x?3sinx?2x?24sin2x?3sinx?1 解：lim ?sin2x?3sinx?2x?2 =lim2(sinx?1)(4sinx?1)
?(sinx?1)(sinx?2)x? =lim24sinx?1
?sinx?2x?
4?1 1?2 =-5
=
例30.求极限：limx???x?x?x
2x?1x?x?x
2x?1 解：limx???1? =limx???11?3xx 12?x =2 22.2.14放缩法求极限：
'f(x)?f(x)?例31.设f(x)在?1,???上有连续导数，且lim??=0. x????证明：limf(x)?0。
x???'f(x)?f(x)?证明：∵lim??=0 x???? ∴???0,?M?1,当x>M时，?f'(x)?f(x)?<
xxx'?ef(x) 又? = ef(x)?ef(x) ??'? 2x
ef(x)?ef(M)??(etf(t)?etf'(t))dt
两边从M到x积分， Mxxt'xMt'xM? ︳e? ︳?f(t)?f(t)dte?f(t)?f(t)?dt?(e?e) ??2MM???x ∴ef(x)=ef(M)+?(etf(t)?etf'(t))dt
MxMx ∴︱f(x)︱?︱
ef(M)??et(f(t)?f'(t))dtMMex︱
? ?eM?xf(M)?(ex?eM)e?x
2? ?eM?xf(M)?
2f(M)? 又存在N>M，使当x>N时，︳x?M ︳<
e2
∴当x>N时，︳f(x) ︳
x???
3、 函数的连续与一致连续 3.1函数的连续及其性质
3.1.1函数f(x)在点x0连续的定义：
设f(x)在点 x0的某邻域内有定义，f(x)在点x0连续可归纳为以下几种等价形式：
（1） 极限形式：limf(x)?f(x0)
x?x0（2） 增量极限形式：lim?y?0，其中?y=f(x0+?x)-f(x0)
?x?0（3） ???语言：???0，???0，?x：︱x-x0︱
f(x)-f(x0) ︱
（4） 左、右极限：f(x0+0)=f(x0-0)=f(x0)
（5） 邻域形式：???0，???0，有f(U(x0,?))?U(f(x0),?) （6） 离散形式：??xn??U(x0)，xn?x0（n??）,有
limf(xn)?f(x0)。
n??3.1.2函数f(x)在点x0左（右）连续的定义：
如果limf(x)?f(x0)则称函数f(x)在点x0左连续。（右连续类似）
x?x0注意：
（1） 函数f(x)在点x0连续，描述的是在x0的一个充分小的邻
域内，自变量x所对应函数值f(x)和x0对应的函数值f(x0)能任意地接近，但这不意味着在点x0的邻域内，自变量所对应的函数值f(x)是一条曲线。
?（2） 定义中的?的大小当然是和?有关的，要特别注意的是，
还可能与x0点有关。
（3） 由定义不难看出，函数f(x)在点x0连续必须具备三个条
件：①函数f(x)在点x0有定义；
②函数f(x)在点x0有极限；
③函数f(x)在点x0的极限值与函数值相等。
3.1.3函数f(x)的间断点及其分类： 函数f(x)的不连续点称为间断点。
如果函数f(x)在点x0间断，根据函数f(x)在点x0是否有左、右极限，可以把间断点分为三类：（1）可去间断点：如果函数f(x)在点x0有极限，但是极限值与函数值不相等，则称x0是可去间断点；对于可去间断点，总可以通过改变或补充定义f(x)在点x0的函数值使f(x)在点x0连续；（2）第一类间断点：如果函数f(x)在点x0的左、右极限都存在但是不相等，即f(x0+0)≠f(x0-0),则称x0是第一类间断点，第一类间断点又称跳跃间断点；（3）第二类间断点：如果函数f(x)在点x0的左、右极限至少有一个不存在，则称x0是第二类间断点。
3.1.4连续函数的局部性质：
（7） 连续函数的局部有界性：若函数f(x)在点x0连续，则f(x)
在点x0局部有界，即?M>0，??>0，?x?(x0??,x0??),有︳f(x) ︳?M.
（8） 连续函数的局部保号性：若函数f(x)在点x0连续，且f(x0)
≠0,则f(x)在点x0的邻域保号，即若f(x0)>0(<0),则
??>0，?x ?(x0??,x0??)，有f(x)>0(<0).
3.1.5连续函数的整体性质（闭区间上连续函数的性质）
（9） 有界性：若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上有界；
（10）最值性：若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上有最大值与最小值；
（11）介值定理1：若函数f(x)在闭区间?a,b?上连续，M与m是
f(x)在?a,b?上的最大值与最小值，则?c:m?c?M,????a,b?,使得f(?)=c;
（12）康托定理：f(x)在闭区间?a,b?上连续，则f(x)在?a,b?上一致连续；
（13）稠密定理：设函数f(x)在区间I上连续，如果对I中的任
意的有理数q,f(x)具有性质p,则f(x)在区间I上具有性质p.
3.1.6一致连续：
设函数f(x)在区间I上有定义，若???0，???0，?x1,x2?I，当︳x1?x2 ︳
3.2基本方法及应用：
论证f(x)在点x0连续（1）利用定义证明；（2）利用左、右极限证明；（3）利用序列极限证明；（4）利用邻域语言证明；（5）利用连续函数的四则运算以及复合函数的连续性证明。
①证明函数f(x)在区间I上连续只要证明函数f(x)在区间I上的每一点都连续，如果区间端点属于I证明在区间端点的单侧连续性。 ②根据连续函数性质证题
连续函数的局部性质与闭区间上连续函数的性质，对于不满足性质定理条件的，缩小范围，使之满足定理条件再由性质定理证明。 ③证明函数f(x)在区间I上一致连续或不一致连续
（14）按照定义证明；
（15）利用李普希兹条件或导函数有界证明； （16）利用康托定理证明。
p?1,当x?其中p,q?Z,q?0,且p,q互质?q例32.证明黎曼函数R（x）=?q
?0， 当x为无理数时?(1)在无理点连续；（2）在有理点间断。
证明：（1）?x0为无理数，??>0，使R（x）??的点x的个数至多有
有限多个（因为x=
pp11，则有R（）=??，或0?p ?qqq于是总可以找到一个?>0，使得在?x0??,x0???内没有使式子①