目录
中文摘要、关键词???????????????（Ⅱ） 1、绪论 ????????????????? （1） 2、函数的极限 ??????????????? （1） 2.1函数极限的概念及性质 ???????????（1） 2.2求函数极限的方法总结 ???????????（3） 3、函数的连续与一致连续????????????（15） 3.1函数的连续及其性质 ????????????（15） 3.2 一致连续的判定方法????????????（22） 参考文献???????????????????（26） 英文摘要、关键词???????????????（27）
函数的极限与连续
数学与信息科学学院数学与应用数学专业
指导教师 谢永红
作 者 程雅
摘要：论文分为两大部分，第一大部分主要介绍一元函数极限的有关知识，包
括函数极限的概念、性质、存在条件并详细总结了函数极限的求法有：（1）?─?定义法；（2）两边夹求极限；（3）归结原则；（4）柯西收敛准则；（5）四则运算法；（6）初等方法；（7）洛必达法则；（8）等价无穷小替换；（9）自然对数法；（10）级数法；（11）积分中值定理；（12）变量替换；（13）因式分解；（14）放缩法共14种方法。第二大部分介绍了一元函数连续性的有关知识，包括函数连续的定义，连续函数的局部性质、整体性质，以及一致连续的定义及证明方法并通过例题体现。
关键词 极限，洛必达法则，柯西收敛，连续，一致连续
1、绪论：极限理论是学习高等数学和数学分析的基础，目前数学分析领域极限
的求法已经研究的比较透彻，论文主要是将前人研究的结论和成果进行总结，使人们对于极限的求法更容易操作，遇到相关问题更容易去解决。在论文中首先介绍极限理论中的基本概念及性质，然后用较多的篇幅来介绍各种类型的函数极限的相应求解方法。连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数，论文中从连续函数的定义、性质、间断点的类型做了比较系统的概述，通过例题具体应用了连续函数的性质来解决问题，最后具体讲解了一致连续函数的判定方法。
2、函数的极限
2.1函数极限的概念及性质
2.1.1概念：
函数极限定义的六种形式：
（1）limf(x)?A????0,???0,当0??x?x0???时，有?f(x)?A???；
x?x0（2）lim?f(x)?A????0,???0,当0?x?x0??时，有?f(x)?A???；
x?x0（3）lim?f(x)?A????0,???0,当???x?x0?0时，有?f(x)?A???；
x?x0（4）limf(x)?A????0,?M?0，当│x│>M时，有?f(x)?A???；
x??（5）limf(x)?A????0,?M?0，当x>M时，有?f(x)?A???；
x???（6）limf(x)?A????0,?M?0，当x<-M时，有?f(x)?A???。
x??? 函数在某过程中以零为极限，则称为在该过程下的无穷小量，理解无穷小量阶的比较的定义及其意义，掌握等价无穷小量在极限计算中的应用。 例如 当x?0时，有x ～sinx～ tanx ～arctanx～ arcsinx～
x2ln(1+x)～ e-1 1-cosx ～
2x当极限为无穷时，定义为：
（7）limf(x)????G?0,?M?0，当│x│>M时，有│f(x)│>G.
x??（8）limf(x)?????G?0,?M?0，当│x│>M时，有f(x)>G.
x??（9）limf(x)?????G?0,?M?0，当│x│>M时，有f(x)<-G.
x??注意：仅以x?x0为例，对函数极限定义（1）中的?和?的特性进行讨
论：
① 该定义称为函数极限?─?定义（精确化定义），相当于数列极限的?─N 定义； ② 0<│x-x0│< ? , 要求x?x0 （x趋于x0）但x≠x0 ，这一点非常重要；
③ 函数极限定义中的?与数列极限定义中的?一样，具有两重性，即任意性和相对固定性，?是用来控制精度的。另外，若?为任意正数，
?则 ， ?2，? 等均为任意正数，均可扮演? 的角色，也即?的第
2三个特性─多值性； ④ 一般来说?是用来控制自变量x的，它表示x与x0的接近程度，相当于数列极限?─N 定义中的N，它的第一个特性是相应性，即对给定的?> 0，都（至少）有一个?与之相对应，?依赖于?，但不是由?所唯一确定的，
所以?是依赖于?而适当选取的，为此常记为?（x0；?） ；一般说来，?越小，?也相应的要小一些，而且?可以取得更小些，但是定义中是要求由 0<│x-x0 │
??，等等比?还小的正数均可满足要求，由此?不是唯23一的。这就是?的第二个特性─多值性。 此要求，则
⑤ 函数极限的等价定义：任给 ?>0 ，存在正数?，使对一切x?U0 (x0 ;
?) 有f (x)?U (A;?) ；
?正数?，?x'满足 0<│x'-x0 ⑥ 函数 f(x) 不以A为极限定义：??0>0 ，
│
2.1.2函数极限的性质; ① 唯一性：若极限存在，则必是唯一的；
② 局部有界性：若极限存在，则存在x0的某去心邻域，使得 f(x)在其内有界；
③ 局部保号性：若limf(x)=A>0(或<0)，则对于任何正数r
x?x0存在U0(x0)，使得对一切x?U0(x0)有f(x)>r>0(或f(x)<-r<0); ④ 保不等式性：设limf(x)与limg(x)都存在，且在某邻域U0(x0;?')内
x?x0x?x0有f(x)?g(x),则limf(x)?limg(x)；
x?x0x?x0
⑤ 迫敛性：设limf(x)=limg(x)=A,且在某U0(x0;?')内有
x?x0x?x0f(x)?h(?x),(则gxlimh(x)=A；
x?x0x?x0x?x0⑥ 极限四则运算法则：若极限limf(x)与limg(x)都存在，则函数f(x)±g(x), f(x)·g(x) ,当x?x0时极限也存在,且(1)
x?x0lim?f(x)?g(x)?x?x0x?x0=
x?x0x?x0limf(x)?limg(x)x?x0x?x0；
(2)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；又若limg(x)≠0，则f/g当
x?x0时极限存在，且有(3)limx?x0f(x)?limf(x)/limg(x)；
x?x0g(x)x?x0⑦ 复合函数的极限
sinx1?1；lim(1?)x=e；
x?0x??xx1.1.3函数极限存在的条件：
（1） 左极限=右极限；
（2） 归结原则（海涅定理）； （3） 柯西收敛准则； （4） 单调有界定理；
⑧ 两个重要极限：lim2.2 、求函数极限的方法总结
概述求函数极限的基本方法：
2.2.1按???定义证明（验证）极限：
条件:已知极限值
关键：寻找?(?) 使用方法
（1） 求最大的?；由不等式︳f(x)-A︳
求解过程较复杂，可先将︳f(x)-A︳化简，适当放大，成为关于
于是要使?x?x0?的简单函数g(?x?x0?)即︳f(x)-A︳?g(?x?x0?)，︳f(x)-A︳
（3） 分步法：尤其是函数极限，若不对x进行限制，便无法化简和放
大，为此先限定x的取值范围，然后按（2）方法求得?(?)即可。
例1.（用第（1）种方法）