cosxsinx =limx?0x2sinx?xcosx=lim 2x?0xsinxsinx?xcosx=lim x?0x3cosx?cosx?xsinx=lim x?03x2xsinx=lim x?03x21= 31?xexsinx?x(1?x)例18.求lim
x?0x3exsinx?x(1?x)解： lim
x?0x3exsinx?excosx?1?x?x =lim 2x?03xex(sinx?cosx)?1?2x =lim x?03x2ex(sinx?cosx)?ex(cosx?sinx)?2 =lim x?06x2excosx?2 =lim x?06x2excosx?2ex(?sinx) =lim x?061 = 32.2.8用等价无穷小替换求极限。
要点: 在求函数极限时常用以下等价无穷小进行等价替换：sinx ～
x,tanx～x,arcsinx～x,ex?1～x,ln(1?x)～x,1?cosx～
x2x,ax?1?xlna,n1?x?1～,(1?x)n?1～nx (x? 0)
n2
1?x2?1例19．求极限lim
x?01?cosx1?x2?1解：lim
x?01?cosxx2 =lim22
x?0x2 =1
38?f(x)?2f(x)例20.设lim=?，（?为常数），求lim。
x?0x?0xx解： limx?038?f(x)?2
x38(1?=limx?0f(x))?28 x?f(x)?32?1??1?8? =lim?x?0xf(x)2??8)3 =limx?0x?= 12例21.求limarctanx
x?0ln(1?sinx)解：lim =limarctanx
x?0ln(1?sinx)x
x?0sinxx =lim
x?0x =1
2.2.9自然对数法:
要点：对于幂指数函数y= u(x)v(x) 的极限在多数情况下都不能单纯地利用
常规方法来解，这时可采用对数法求函数取自然对数，再求极限。
x)例22.求lim(cot?x?0x?01lnx
1lnxx)解：lim(cot?
=ex?0?limlncotxlnx
=e =e =e =e?csc2xlimcotx1x?0?xlim?x1
?x?0?sinxsinxcosx2
x?0?sinxcosxlim?x
x?0?sinxlim?x
=e?1
例23.求极限：（1） limx(1?cosx)
x?0(1?ex)sinx2x(1?coxs) 解： lim x2x?0(1?e)sixn =lim1?cosx
x?0x(1?ex)x22 =lim x?0x(1?ex)x =lim2x
x?01?e1 =lim2x
x?0?e1 =-
2?sinx? （2）lim??x?0?x?11?cosx
=esinxxlimx?01?cosxln
=exxcosx?sinx?sinxx2limx?0sinx
=ex?0 =ex?0limxcosx?sinxx3?xsinx3x2
lim =e
2.2.10级数法：
要点：级数法一般是利用麦克劳林级数
f''(0)2x+…+Rn(x) 将函数展开，取有效部分求f(x)=f(0)+f(0)x+2!'?13极限。
例24.求极限：lim(6x6?x5?6x6?x5)
x??? 解： lim(6x6?x5?6x6?x5)
x?????111166 =limx?(1?)?(1?)?
x???xx??1111?? =limx?1??o(2)?1??o(2)?
x???x6xx??6x =limx?x???1 3x1 =
3ex?1?x例25.求极限：lim
x?01?x?cosxx2 解：e?1?x??o(x2)
2!xxx21??ox2( ) cosx??24!xx2(2 ) 1?x?1???ox28
x2?o(x2)ex?1?x ∴ lim=lim2=-3
x?01?x?cosxx?012?x?o(x2)62.2.11利用积分中值定理：
要点：一般根据积分第一中值定理若f(x)在?a,b?上连续，则
????a,b?,s..t?f(x)dx?f(?)(b?a)将某些含有积分的变量化为一般形式再
ab求极限。
1例26.求极限： lim???013?x?101dx
解：?1dx?(0???1) 33?x?1???1011 ∴lim???013?x?10dx=lim??01??3?1=1
2.2.12变量替换：
要点：为了将未知极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点适当引入新变量，以替换原来的变量。
12例27.求极限：lime?x(1?)x
x???x1 解: 令t=
x1x2?x ∴lime(1?)
x???x =lime(1?t)t
t?01ln(1?t)??tt2?1t12 =limet?0
ln(1?t)?t =limet?0t2
=e =e1?1lim1?tt?02t
?1t?02(1?t)lim