成立的点，或?x??x0??,x0???总有R（x）
x?x0=0=R(x0)，因此R（x）在无理点连续。
（2）?x1为有理点??0?1>0，??>0，?x'?U(x1,?)且x'为无理2q11由x1?=??0∴x1为R(x)的间断点，
qq数，使?R(x')?R(x1)?=?0?的任意性知R(x)在有理点间断。
例33． 设f(x)在（-?，+?）有定义，?x?（-?，+?）有f(x2)=f(x),
且f(x)在x=0与x=1连续，证明f(x)为常值函数。
证明：由f(x2)=f(x)得到对于任意的自然数n,?x>0，有
f(x)=f(x)=f(x)=…=f(x),由于f(x)在x=1连续及
lim1=0，所以?x>0，令n??取极限，有
n??2n12nn??121412nf(x)=limf(x)=f(1).
f(x)?limf(1)=f(1) 再由f(x)在x=0连续，所以f(0)=lim??x?0x?0 ∴?x??0,???,f(x)=f(1)再由f(x)为偶函数 f(x)=f(-x) ∴?x????,0? ,f(x)=f(1) ∴?x?（-?，+?）f(x)=f(1) ∴f(x)为常值函数.
m?m,x是既约分数?n?0??例34.讨论函数f(x)=?n?1 n???x????????????????x是无理数时的连续性，并指出间断点的类型。
解：（1）当x<0，若取﹛xk﹜为趋于x的无理数列，有limf(xk)=︳x ︳;
k??取﹛xk﹜为比x小且趋于x的有理数列
mk则必有nk??，事nk实上，由于
mkm?nkx?0，而mk≠nk，且x固定∴-x=knknkmknx若取﹛xk﹜为比)?limk=x?0；
k??n?1nkk
nk??因此，limf(k??x小且趋于x的无理数列则limf(xk)=lim?xk?=︳x ︳>0,故
k??k??x<0是f(x)的第二类间断点。
（2）当x0>0时，若x0=
m（n>0）分别取趋于x0的无理数列和有理nmm数列，由（1）的推导过程可知x0=（n>0）的极限limf(xk)=
k??nnmm≠=f()故正有理数是f(x)的可去间断点。 n?1nk?? （3）若x0>0为无理数，由于limf(x)?f(x0)故正无理数是f(x)
的连续点，又显然f(x)在x=0处连续。
例35. 设函数f(x),g(x)都在???,???上连续，且在所有有理点上相等，
证明：f(x)≡g(x)
证明：?x????,???,x为无理数，xn?x，?xn?为有理点列；
limf(xn)?limg(xn) limxn?x, f(xn)=g(xn) ,当n??时，
n??n??n?? 即：f(x)=g(x) ,又∵在所有有理点f(x)=g(x)
∴f(x)≡g(x)，x????,???
例36. 证明:
(1)f(x),g(x)连续,则函数?(x)= min﹛f(x),g(x)﹜,?(x)=max
﹛f(x),g(x)﹜都连续； （2）设f1(x),f(2x),f()x3在?a,b?上连续，对任意的x??a,b?,令f(x) 是
这三个函数值中间的那个值，则f(x)在?a,b?上连续。
??n,x??n? （3）设f(x)为实函数，令un(x)??x,?n?x?n 则f(x)连续的充分必
?n,x?n?要条件是gn(x)?un?f(x)?，对任何正整数n,都是x的连续函数。
证明：(1)?(x)=
f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?，
2f(x)?g(x)??f(x)?g(x)??（x）=
2∵f(x),g(x)连续∴f(x),g(x)的和、差、绝对值都连续
∴?(x)，?（x）都连续。
(2) f(x)=f1(x)?f2(x)?f3(x)-max﹛f1(x),f2(x),f3(x)﹜-
min﹛f1(x),f2(x),f3(x)﹜故f（x）在?a,b?上连续。
(3) 必要性：当f(x)连续,因为gn(x)=-n+f(x)+n-max﹛-n,f(x),n﹜
-min﹛-n,f(x),n﹜∴gn(x)连续。
充分性：∵gn(x)?un?f(x)?，对任何正整数n,都是x的连续
函数，
∴??>0,???0,当︳x-x0 ︳
?gn(x)?gn(x0)?=?un?f(x)??un?f(x0)??
例37.（利用连续函数的性质）
证明若f(x)在?a,b?上连续，f(a+0)与f(b-0)为有限值，且????a,b? ，
使得f(?)?max﹛f(a+0), f(b-0)﹜则f(x)在?a,b?上取得最大值。
?f(a?0),x?a? 证明：设F(x)=?f(x),x??a,b? F(x)在?a,b?上连续， 因此F(x)在?a,b??f(b?0),x?b?上存在最大值F（c）且F（c）?f(?)=F（?）
① 若F（c）=f（?）则F（c）=F（?）∴?为f(x)在?a,b?内最
大值点；
② 若F（c）> f（?）则F（c）> f(a+0)=F(a), F（c）>f(b-0)=F(b) ∴a 例38.设函数f(x)在?a,b?上连续，且对每一个x??a,b?,存在y??a,b?,使得︳ f(y) ︳? 1 ︳f(x) ︳,证明存在???a,b?，使得f(?)=0. 2 证明：取定x0??a,b?，由题意，存在x1??a,b?，使得︳f(x1) ︳? f(x0) ︳，再由题意，使得︳f(x2) ︳??x2??a,b?， 21 ︳21 ︳f(x1) ︳2?1?即：︳f(x2) ︳???︳ f(x0) ︳?因此xn??a,b?，有︳f(xn) ?2??1?︳????f(x0)?,n?N. ?2? 我们得到?a,b?中的点列﹛xn﹜，由致密性定理，设﹛xni﹜是﹛xn﹜ 的一个收敛子列：limxni??，因为???a,b?，f(x)在?点处连续， i??n有lim?f(xni)??limi??1?f(x0)?=0，即：lim?f(xni)?=0=f(?), i??i??2ni ∴存在???a,b?，使f(?)=0. 例39.设非负函数f(x)在?0,1?上连续，且f(0)=f(1)=0,证明对开区间（0， 1）内的任一实数a,存在x0??0,1?，使得x0+a??0,1?,且f(x0)=f(x0+a). 证明：构造辅助函数，令F(x)=f(x)-f(x+a) ∴F(0)=f(0)-f(0+a)=-f(a)?0 F(1-a)=f(1-a)-f(1)=f(1-a)?0 分三种情况讨论： ① 若F(0)=0，则f(a)=0,令x0=0，则F(x0)=f(x0)-f(x0+a)=0， 即：f(x0)=f(x0+a)； ② 若F(1-a)=0,则f(1-a)=0,令x0=1-a,则F(x0)=F(1-a) =f(x0)-f(x0+a)=0, 即：f(x0)=f(x0+a)； ③ 若F(0)<0，F(1-a)>0,由于F(x)在?0,1?a?上连续，由界值性定理，从而存在x0??0,1?a?使F(x0)=0即f(x0)-f(x0+a)=0 ∴f(x0)=f(x0+a)。 例40.设f(x)为闭区间?a,b?上的增函数但不一定连续如果f(a)?a,f(b)?b, 试证：?x0??a,b?，使得f(x0)=x0. 证明：作第1、3象限的角平分线y=x，由题意知A(a,f(a))在y=x上方， a?bB(b,f(b))在y=x下方，取?a,b?中点c1=,若点C（c1，f(c1)）在直线 2y=x上，则得证。否则点C或在直线上方或在直线下方，总之存在?a1,b1?使两端点在直线y=x上、下方各一个。这样继续下去存在区间套 ?a,b???a1,b1??...??an,bn??...使两端点位于直线y=x上、下方各一点， bn?an?即：an?f(an)，bn?f(bn)， n??n??b?a由区间套原理?1???an,bn?，?0，n2n=1,2,3?且liman?limbn??，由f(x)为增函数得，对?n有an?bn且 an n??limfan(?n??n??)fblni?mf?(，an?f(?)?bn，由?的唯一性得f(?)=?。 令?=x0即得结论。 3.3 一致连续的判定方法 我们研究了连续函数的性质，而一致连续函数是数学分析的热点问题，有必要做进一步讨论。本文通过连续函数的性质寻求一致连续函数的判定方法。 一致连续函数的等价条件 3.3.1 定理1 函数f(x)在区间I上一致连续函数的充要条件是对区间I上任意两个数列{xn}与{yn}，当lim(xn?yn)?0时，lim[f(xn)?f(yn)]?0。 x??x??证明：必要性显而易见，先仅给出充分的证明。 假设f(x)在I非一致连续，即存在?0?0，对任意的??0，存在 x,y?I:|x?y|??，有|f(x)?f(y)|??0。 取??1，存在x1,y1?I当|x1?y1|?1，有|f(x1)?f(y1)|??0， 取??? 取??? 从而在区间I是上构造了两个数列{xn}与{yn}，显然 lim(xn?yn)?0，但是lim[f(xn)?f(yn)]?0。 x??x??11，存在x2,y2?I当|x2?y2|?，有|f(x2)?f(y2)|??0， 2211，存在x2,y2?I当|xn?yn|?，有|f(xn)?f(yn)|??0， 2n