`第八章 多元函数微分学
8.1基本知识点要求
1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义.
2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。
3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。
4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.
6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。
8.了解二元函数的二阶泰勒公式.
9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。
8.2基本题型及解题思路分析
题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题
1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设f(P)?f(xy,)的定义域为D,P0(x0,y0)是D的聚
?点.若?常数A，对于???0，总???0，使得当P(x,y)?D?U(P时，都有0,?)f(P)?A?f(x,y)?A??成立，则称A为函数f(x,y)当(x,y)?(x0,y0)时的极
限，记作
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A或limf(P)?A。
P?P0②二元函数的连续：设f(P)?f(x,y)的定义域为D,P0(x0,y0)为D的聚点，且P0?D.若
(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?f(x0,y0)，则称f(x,y)在点P0(x0,y0)连续。
（2）关于二元函数极限的解题思路
注意：在二元函数limf(P)?A存在的定义中，P?P0方式任意，正是由于
P?P0这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。
① 证明二元函数的极限不存在：若P以两种不同的方式趋于P0时，f(P)的极
限不同，则limf(P)一定不存在（见例1）。
P?P0②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2）
xy2例1证明：f(x,y)?2在原点的极限不存在。 （0,0）x?y4【分析】观察分子、分母中变量x,y的各次幂的特点，可考虑选择路径
x?ky2。
xy2ky4k证明：?limf(x,y)?lim2， ?lim?2y?0y?0x?y4y?0k2y4?y4k?122x?kyx?ky?k不同，极限值就不同，故
(x,y)?(0,0)limf(x,y)不存在。
【评注】证明二元函数的极限不存在是个难点，关键是选择适当的P?P0的路径，注意总结其选择路径的规律。
例2
(x,y)?(0,0)lim1-cosxy2?e?1xy? 。
【分析】此题既可以直接利用等价无穷小代换，也可以先将分母有理化，再进行等价无穷小代换。 解：
(x,y)?(0,0)lim1-cosxy2?e?1xy?(x,y)?(0,0)lim1-cosxy1?(1?e)?1xy xy?(x,y)?(0,0)lim1?exy22?xy??1
(x,y)?(0,0)?xylim【评注】二元函数的极限有与一元函数的极限类似的性质与运算法则，求法一般不难，这里不再多举例子。
?x3?y2,(x,y)?(0,0)?22例3 设f(x,y)??x?y，证明函数f(x,y)在点(0,0)连
?,(x,y)?(0,0)?0续 。
【分析】：通过观察分子、分母中变量x,y的各次幂的特点，可以看出f(x,y)在(0,0)点的极限存在且为0，但不易利用例2中的评注直接求解，可以考虑将点(x,y)转化成极坐标来表示。
x3?y2x?y22证明： ?lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?(x,y)?(0,0)lim
?2(?cos3??sin2?)x??cos?,y??sin?lim?0?f(0,0)
??0??f(x,y)在点(0,0)连续。
2. 偏导数的概念
二元函数的偏导数的概念：设z?f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义? 如果极限lim?x?0f(x0??x,y0)?f(x0,y0) 存在? 则称此极限为函数z?f(x,y)在点
?xx?x0y?y0?f(x0,y0)处对x的偏导数? 记作?zx?x0? x?x0? zx?xy?y0?xy?y0? 或fx(x0,y0)。
如果极限lim?y?0f(x0,y0??y)?f(x0,y0)存在? 则称此极限为函数z?f(x,y)在点
?yx?x0y?y0?f(x0,y0)处对y 的偏导数，记作 ?zx?x0? x?x0? zy?yy?y0?yy?y0x2?y4? 或fy(x0? y0)?
例4设f(x,y)?e,则函数在原点偏导数存在的情况是
?A? fx?(0,0)存在,fy?(0,0)存在 ?B??C?
fx?(0,0)不存在,fy?(0,0)存在fx?(0,0)存在,fy?(0,0)不存在
?D?fx?(0,0)不存在,fy?(0,0)不存在（研）
解：应选【C】
fx?(0,0)=limx?0ex2?04?1e?1?lim， x?0x?0x?0x
e?x?1e?1ex?1?lim?1，lim因为lim??1
x?0?x?0x?0?x?0x?0?x?0e?1e?x?1故lim，所以fx?(0,0)不存在。 ?lim??x?0x?0x?0x?0xxfy?(0,0)?limy?0e02?y4?1ey?1y2?lim?lim?0 y?0y?0y?0y?0y2所以fy?(0,0)存在。故选【C】。
【评注】开算数根也即含绝对值也即为分段函数，必要时需要用偏导数定义
讨论偏导数，与一元函数类似，是重要考点。
例5 设
(x,y)?(0,0)limf(x,y)?3x?4y?2, 则 2fx?(0,0)?fy?(0,0)? 22x?y（2008-北京赛）.
【分析】为了利用偏导数的定义求出fx?(0,0)和fy?(0,0)，需要写出函数的表达式，为此要想到利用结论：limf(P)?A?f(P)?A??,其中lim??0。
P?P0P?P0解：?lim(x,y)?(0,0)f(x,y)?3x?4y?2, 22x?y?f(x,y)?3x?4y?2??,其中lim??0,
(x,y)?(0,0)x2?y2从而f(x,y)??3x?4y?2(x2?y2)??(x2?y2)，
22f(0?x,0)?f(0,0)?3x?2x??x?0fx?(0,0)?lim?lim??3
x?0x?0x?0x22f(0,0?y)?f(0,0)4y?2y??y?0fy?(0,0)?lim?lim?4
y?0x?0y?0y故2fx?(0,0)?fy?(0,0)??6?4?2。
【评注】此例中这种把极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分
析过程中常用的思想。
3. 全微分概念及以上几个概念之间的关系
二元函数全微分的概念：如果函数z?f(x,y)在点(x? y)的全增量
?z?f(x??x,y??y)?f(x,y)可表示为
?z?A?x?B?y?o(?) (??(?x)2?(?y)2 )? 则称函数z?f(x,y)在点(x? y)可微
分? 而称A?x?B?y为函数z?f(x,y)在点(x? y)的全微分? 记作dz? 即
dz?A?x?B?y
关系：偏导连续?可微?偏导存在；可微?连续；但偏导存在??可微；连续??偏导存在
【评注】一元函数微分学的有些结论不能搬到多元函数微分学中。
1?xysin,(x,y)?(0,0)?22例6设f(x,y)??，（1）f(x,y)在（0，0）点x?y?0,(x,y)?(0,0)?是否连续？（2）求fx?(x,y)；（3）f(x,y)在（0，0）点是否可微；（4）fx?(x,y)在（0，0）点是否连续。（天津工业大学竞赛题）
【分析】讨论分段函数在分段点的偏导数及全微分必须利用偏导数和全微分的定义。
解 (1)由夹逼准则 0?f(x,y)?xysin1x?y22?xy ，
因此(x,y)?(0,0)limf(x,y)?0?f(0,0)，故f(x,y)在（0,0）点连续。
(2)当(x,y)?(0,0)时
1x?y22fx?(x,y)?2xsin?xx?y22cos1x?y22, 当(x,y)?(0,0)，利用偏导数的定义得
f(0??x,0)?f(0,0)0fx?(0,0)?lim?lim?0，
?x?0?x?0?x?x1x1?2xsin?cos,(x,y)?(0,0)?222222故fx?(x,y)?? x?yx?yx?y?0,(x,y)?(0,0)?同理可得