yz7．设函数z?z(x,y)由方程F(,)?0确定，其中F为可微函数，且Fz?0,xx则x?z?z?y? 。(2010-研)。 ?x?y8. 设z?f(x,y)在点(0,的某一邻域内可微，且
22其中??x?y，则由方程f(x,y)?1所确定的函数在f(x,y?1)?1?2x?3y?o(?)，
dy在x?0处的导数|x?0?_______.（2007-北京赛）
dx?3x2?2y2?129.由曲线?绕y轴旋转一周得到的旋转面在点(0,3,2)处的
z?0?指向外侧的单位法向量为 .（2006-天津赛）
22??3x?2y-2z-1?010.曲线L:?2在点（1，1，2）处的切线方程22??x?y?z-4y-2z?2?0为 。（2007-天津赛）
11.设F(u,v,w)是可微函数，且Fu(2,2,2)?Fw(2,2,2)?3,Fv(2,2,2)??6，曲面
F(x?y,y?z,z?x)?0过M（1，1，1）点，则过这点的法线方程为 （研）12.函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处，沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为 . （2005-天津赛）
?1?z13.设z?x?xy?y在点(?1,1)处沿方向l?(2,1)的方向导数?
?l522（2002-天津赛）
14.函数u?x2?y2?z2在点M (1,1,1,)处，沿曲面2z?x2?y2在该点的外法线方向l的方向导数
??u?l? 。（2008-天津赛）
?1,1,1?15，函数u?xy2z在P?1,?1,2?处沿什么方向方向导数最大？并求此方向的方向导数.
.
二、选择题
1.考虑二元函数f?x,y?在点?x0,y0?处的下面四条性质： ①连续； ②可微；
③fx??x0,y0?与fy??x0,y0?存在； ④fx??x,y?与fy??x,y?连续。 若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）
（A）②?③?①； （B）④?②?①； （C）②?④?①； （D）④?③?②。（2007-天津赛）
2.二元函数f(x,y)在点（0，0）处可微的一个充分条件是（ ） （A）
?f(x,y)?f(0,0)??0； （B）(x,ylim(x,y)?(0,0))?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0；
（C）limx?0f(0,y)?f(0,0)f(x,0)?f(0,0)?0； ?0,且lim(x,y)?(0,0)yx（D）limfx'(x,0)?fx'(0,0)?0，且limfy'(0,y)?fy'(0,0)?0。（研）
x?0y?0?????xy22?x2?y2,x?y?03.设z??，则z?z(x,y)在点(0,0)（ ）
?0,x2?y2?0?（A）连续且偏导数存在； （B）连续但不可微；
（C）不连续且偏导数不存在； （D）不连续但偏导数存在（2002-天津赛） 4.数f(x,y)?xy，在点(0,0)处f(x,y)（ ）
（A）连续，但偏导数不存在； （B）偏导数存在，但不可微； （C）可微；； （D）不连续且偏导数不存在。 (2004-天津赛) 5.设函数z?f?x,y?在点?x0,y0?处有
?f?x?a,?x0,y0??f?y?b，则下列结论
?x0,y0?正确的是（ ）
（A）limf?x,y?存在，但f?x,y?在?x0,y0?点处不连续；
x?x0y?y0（B）f?x,y?在?x0,y0?点处连续； （C）dz?adx?bdy；
（D）limf?x,y0?,limf?x0,y?都存在，且相等。（2008-天津赛）
x?x0y?y0Fy??x0,y0??0。F?x0,y0??0，Fx??x0,y0??0，6.设F?x,y?具有2阶连续偏导数，
若y?y?x?是由方程F?x,y??0所确定的在点?x0,y0?附近的隐函数，则x0是
y?y?x?的极小值点的一个充分条件为（ ）
???x0,y0??0； （B）Fxx???x0,y0??0； （A）Fxx???x0,y0??0； （D）Fyy???x0,y0??0（2009-天津赛） （C）Fyy?2u7.在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足?0及
?x?y?2u?2u?2?0，则（ ） 2?x?y（A）u(x,y)的最小值点在区域的内部，最大值点在区域D的边界上； （B）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上； （C）u(x,y)的最大值点在区域的内部，最小值点在区域D的边界上； （D）u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部。（2001-天津赛） 8.设函数f(x)具有二阶连续偏导数，且f(x)?0,f?(0)?0,则函数在点z?f(x)lnf(y)(0,0)处取得极小值的一个充分条件是 （A）f?0??1,f??(0)?0； （B）f?0??1,f??(0)?0； （C）f?0??1,f??(0)?0； （D）f?0??1,f??(0)?0（2011-研）
三、解答题 1.求( 1 )
(x,y)?(0,0)limxyx2?y2 ( 2 )
xy
(x,y)?(0,0)2?xy?4lim2.已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1,函数y?y(x)由方程y?xey?1?1dz所确定，设z?f(lny?sinx)，求
dxd2zx?0,dx2x?0。（2007-研）。
?2f?2f3. 设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足2?2?1，又
?u?v?2g?2g122g(x,y)?f(xy,(x?y),求2?2。 （研）
?x?y2
?2u?2u4.设函数u(x,y)的所有二阶偏导数都连续，2?2且u(x,2x)?x，
?x?y?(x,2x)?x2，求u11??(x,2x).（2001-天津赛）. u15.设f(u,v)有一阶连续偏导数，z?f(x2?y2,cos(xy))，x??cos?，
y??sin?，证明：
?z1?z?z?z（2006天津赛） cos??sin??2x?ysin(xy).）
??????u?v?u?x?2y?2z?2z?2z?2z6.设z?z?x,y?,变量?且62? ?2?0那么? 。
v?x?3y?x?x?y?y?u?v?（2009-北京赛）
?2z?2z?2z?2?0可7.设二元函数z?z?x,y?具有二阶连续偏导数，证明：2?2?x?x?y?y?2w经过变量替换u?x?y,v?x?y,w?xy?z化为等式22?1?0。（2008-天津
?u赛）。
?2z?2z8.设z?z?x,y?是由z?e?xy所确定的二元函数，求：2，（2010-?x?y?xz天津赛）
9.设z?z?x,y?是由方程x2?y2?z???x?y?z?所确定的函数，其中?具有2阶导数且????1时，求(1)dz；（2）记u?x,y??1??z?z??u ???，求
x?y??x?y??x10.已知曲面4x2?y2?z2?1上点P处的切平面平行于平面x?y?z?1，求切平面的方程。（2012-天津赛）
x2y2z211求λ的值，使两曲面：xyz?λ与2?2?2?1在第一卦限内相切，并
abc求出在切点处两曲面的公共切平面方程。（2008-天津赛）。
x?ay?b12.设二元函数F可微，试证明由方程F(,)?0所确定的曲面的任
z?cz?c一切平面都通过某定点。
13. 求曲线x?t,y?t2,z?t3上一点，使该点处曲线的切线平行于平面
x?2y?z?4，并写出切线的方程.
14.求曲面y?1?x2与曲面2x?z?3的交线上一点，使交线在该点处的切线平行于已知直线
xyz??，并求交线在该点处的法平面. ?1422z??e?xy?215.求曲线?在点(1,1,0)处的切线与法平面.
22??z?x?y16.设函数f?x,y?具有连续的偏导数，对任意的x,y恒有gradf?x,y??2.
1?F?F记F(u,v)?f(uv,(u2?v2)，试确定常数a,b使a()2?b()2?u2?v2。
2?u?v17.求f(x,y)?x2?2x2y?y2在S?(x,y)x2?y2?1上的最大值与最小值.（2002-天津赛）
x2?y2?2z2?0，求曲线C距离xoy面最远的点和最近的点。18.已知曲线C:???x?y?3z?5??（2008-研）
19.求函数u?x2?y2?z2在在约束条件z?x2?y2和x?y?z?4下的最大和最小值.
20.求过第一卦限中的点(a,b,c)的平面，使之与三坐标平面所围成的四面体的体积最小。（2007-天津赛）。
21.求二元函数f(x,y)?x2(2?y2)?ylny极值（2009-研）。
x2y2z222.设?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0,?2:z2?x2?y2，?为?1和?2的
abc交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。（第二届-全国赛-决赛）。
x3x?y23.求f(x,y)?(y?)e的极值。（2013-研）
3参考答案： 一、1． ?g?(v)（提示：令u?xg(y),?vg2(v)，y则f(u,v)?g(v)；?g(v)）
u2.
22???f2??xyf22??；5.yf??(xy)???(x?y)?y???(x?y) ；(ln2?1) ；3. ；4.xf122e