1111M1?(,?,0)与M2?(?,,0). 因最大值一定存在，故只需比较
2222?f??l?f?2， ??l??2
M2M111的大小，由此可知M1(,?,0)即为所求.
22 【评注】此例属于例35中的【评注】②
y2?1}上的最大值和例37求f(x,y)?x?y?2在椭圆域D?{(x,y)x?4222最小值.
【分析】 f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值, 可能在区域的内部达到，也可能在区域的边界上达到，且在边界上的最值又转化为求条件极值或一元函数在闭区间上的最值问题.
解 ： 令
?f?f而f(0,0)?2 ?2x?0,??2y?0得可能极值点为x?0,y?0，
?x?y2y2?1上的情形 再考虑其在边界曲线x?4方法1：利用拉格朗日函数乘子法
y2?1)， 设F(x,y,?)?f(x,y)??(x?42??f?2?x?2(1??)x?0,?Fx???x??f?y1?令 ?Fy?????2y??y?0,
?y22?2y?2?F?x??1?0,??4?得可能极值点x?0,y?2,??4；x?0,y??2,??4；x?1,y?0,???1；
x??1,y?0,???1. 代入f(x,y)得f(0,?2)??2, f(?1,0)?3，比较f(0,0)?2，f(0,?2)??2,f(?1,0)?3这三个值的大小，可得z?f(x,y)在区域y2D?{(x,y)x??1}上的最大值为3，最小值为-2.
42 方法2：将条件极值转化为非条件极值，问题化为求一元函数在闭区间上的最值问题。
将y2?4?4x2代入f(x,y)?x2?y2?2，
得 h(x)?f(x,y)?x2?(4?4x2)?2?5x2?2(?1?x?1)，
令h?(x)?10x?0，得驻点x?0，比较h(0)??2,h(?1)?3,h(1)?3，得f(x,y)在D的边界上的最大值为h(?1)?3,h(1)?3，最小值为h(0)??2,将这两个值再与
y2?1}上的最大值为3，f(0,0)?2比较，可得z?f(x,y)在区域D?{(x,y)x?42最小值为-2。
【评注】求二元函数z?f(x,y)在闭区域D上的最值的步骤：
??fx(x,y)?0 ①令?，得驻点(x0,y0)为f(x,y)在闭区域D内可能的极值点。
f(x,y)?0??y②求出z?f(x,y)在闭区域D的边界上可能的极值点，将之记为(x1,y1). ③求出f(x0,y0)及f(x1,y1)，比较这些点的函数值，最大者即为最大值，最小者，就是最小值
例38.试求z?x2?y2?xy?x?y在闭域D:x?0,y?0及x?y??3上的最大值与最小值。(研)
??z?2x?y?1?0???x解. 令?, 解得 x??1,y??1, f(?1,?1)??1.
?z??2y?x?1?0???y当x = 0时, z?y2?y在[－3, 0]上的最大值为f(0,?3)?6,最小值为
f(0,?11)??。 24当y = 0时, z?x2?x在[－3, 0] 上的最大值为f(?3,0)?6最小值为
f(?11,0)??, 24当x?y??3时，将y??3?x代人目标函数中得z?3x2?9x?6，x?[?3,0]， 当x??33113时z 有最小值z??. 即f(?,?)?? 24224当x?0时z 有最大值z?6.即f(0,?3)?6
当x??3时z 有最大值z?6.即f(?3,0)?6
比较上述各个函数值得：f(0,?3)=f(?3,0)?6为最大值, f(?1,?1)??1为最小值.
【评注】此题的边界由三段直线组成，需分别讨论。
x2y2例39 设圆x?y?2y含于椭圆2?2?1的内部, 且圆与椭圆相切于两
ab22点(即在这两点圆与椭圆都有公共切线).
(1) 求 a与b 满足的等式;
（2) 求a与b的值, 使椭圆的面积最小.（2011-天津赛）。
【分析】由圆和椭圆的图形及已知条件可知：切点不在y轴上，利用题设容易求出第一问，而第二问属于条件极值问题，显然第二问需要利用第一问的结论。 解 ：(1) 设圆与椭圆相切于点(x0,y0), 则(x0,y0) 既满足椭圆方程又满足圆方程, 且在(x0,y0)处椭圆的切线斜率等于圆的切线斜率, 即
b2x0x?2??0. 注意到x0?0, 因此, 点(x0,y0)应满足 ay0y0?1???? ?????x02y02?2?12ab2x0?y02?2y0b21?a2y0y0?1(1)(2)(3)
由(1)和(2)式, 得
b2?a22y0?2y0?a2?0.2b(4)
b2. 代入(4) 式 由 (3) 式得 y0?22b?ab2?a2b42b22 ???a?0. 222222b(b?a)b?ab22242ab?a?b?0. (5) ,化简得 a?2 或 2b?a2
(2) 按题意, 需求椭圆面积S??ab在约束条件 (5) 下的最小值. 构造函数L(a,b,?)?ab??(a2b2?a4?b2). 令
?La?b??(2ab2?4a3)?0? ?Lb?a??(2a2b?2b)?0?L?a2b2?a4?b2?0??(6)(7) (8)(6)?a?(7)?b , 并注意到 ??0, 可得 b2?2a4. 代入 (8) 式得
2a6?a4?2a4?0, 故 a?632. 从而 b?2a2?. 22 由此问题的实际可知, 符合条件的椭圆面积的最小值存在, 因此当
a?632时, 此椭圆的面积最小. ,b?22例40 设D?{(x,y):x2?y2?1},f(x,y)在D内连续，g(x,y)在D内连续有界，且满足条件：（1）当x2?y2?1时，f(x,y)???，（2）在D内f与 g有二
2?2f?2f?2gf?g阶连续偏导数，2?2?e,2?2?eg，证明：f(x,y)?g(x,y)在D内恒?x?y?x?y成立（首届-全国决赛）。
【分析】关于多元函数不等式证明的方法不多，直接正面证明此题显然不好下手，可以考虑用反证法，再设法利用条件（1）（2）推出矛盾。
证明：假设在D内至少存在一点，使得f(x,y)?g(x,y)。
令F(x,y)?f(x,y)?g(x,y)，据题设条件当x2?y2?1时，f(x,y)???， 又F(x,y)?f(x,y)?g(x,y)在半径小于1的任何闭区域上都连续，故F(x,y)在D内必有最小值，设最小值在?x0,y0??D达到，这样，据反正假设，我们有
F(x0,yg(0x,0y)?0， 0)?f(x0,y0)??2F?2F?2f?2f?2g?2g另一方面，我们又有2?2?2?2?2?2?ef?eg在D内处处成
?x?y?x?y?x?y?2F?2F立，特别地有：(2?2)?x?y?2f?2f?2g?2g?(2?2?2?2)?x?y?x?y?ef(x0,y0)?egf(x0,y0)x?x0y?y0x?x0y?y0，
?2F?2F从而有(2?2)?x?yx?x0y?y0?ef(x0,y0)?egf(x0,y0)?0，但是?x0,y0?为F(x,y)的最小值
?2F?0,且C?2?y?2F点，由极值的充分条件知必有， A?2?xx?x0y?y0x?x0y?y0?0，否则若
便会有AC-B2?0，从而?x0,y0?不是F(x,y)的极值点，这与?x0,y0?A?0,C?0，
?2F?2F为F(x,y)的最小值点矛盾，所以有 (2?2)?x?y?2F?2F(2?2)?x?y?ef(x0,y0)x?x0y?y0?0，这又与
x?x0y?y0?egf(x0y0,?0矛盾，假设错误，故f(x,y)?g(x,y)在D内
)恒成立。
【评注】此题理论性较强，用到了闭区域上连续函数的性质和极值的充分条件，难点是它把极值的充分条件反着用。
8.3历年考研和竞赛真题（注：知道出处的，标出出处；选题顺序的第一原则是：填空；选择；计算或证明；第二原则：按知识点的顺序） 一、填空题
1. 设函数f(u,v)由关系式f(xg(y),y)?x?g(y)确定，其中函数g(y)可微，
?2f?且g(y) ? 0，则
?u?v?z?y?2.已知z???，则
?x?x?xy(研)
? （研）
(1,2)3.设f(x,y,z)?ezyz2，其中z?z(x,y)是由方程x?y?z?xyz?0所确定的隐函数，则fy?(0,1,?1)? 。（03市）
?2z4.设f(u,v)具有二阶连续偏导数，z=f(x,xy)则= 。（研）
?x?y?2z1? 5.设z?f(xy)?y?(x?y)，其中 f 、?具有二阶连续导数，则
?x?yx（2004-天津赛） 。
6. 由方程xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分dz? .（2004-天津赛）