Fx???2x，Fy???2y， Fz??1.
设切点坐标为(x0,y0,z0)，则切平面的法矢量为 n?{?2x0,?2y0,1}，其与已知平面2x?4y?z?0平行，因此有
?2x0?2y01， ??24?1?22?y0?5. 可解得 x0?1,y0?2，相应地有 z0?x0故所求的切平面方程为
2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0，即 2x?4y?z?5。
【评注1】两平面平行，则它们的法向量成比例，但并不一定相等。 【评注2】一般地，若曲面方程为F(x,y,z)?0，则在M0(x0,y0,z0)点，切平面的法向量n?(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))。
?x?ucosv??例23 求曲面S:?y?usinv，在u?2,v?处的切平面方程。
4?z?2v??【分析】S为曲面的参数方程，分别将u?2,v??4代人曲面S的方程中，得
在曲面上过点(2,2,)的两条空间曲线方程，这两条曲线在点(2,2,)的切
22线所确定的平面就是所求的切平面。
解：将u?2,v????代人S的方程，得曲面上一点(2,2,)， 42??x?2cosv?将u?2代人曲面方程得在曲面上的一条空间曲线的参数方程?y?2sinv，
?z?2v???其切向量为T1?(?2,2,2)，将v?代人曲面方程得在曲面上的另一条空间曲
4?2u?x?2???222?,,0)，从而切平面的法向量为 线的参数方程?y?u，其切向量为T2?(222???z??2??
???n?T1?T2???i222?j222?k02?(22,22,1)，故所求的切平面方程为
??2(x?2)?2(y?2)?(z?)?0，即2x?2y?z?4?。
22x2y2z2例24在椭球面2?2?2?1上求一切平面，它在坐标轴的正半轴截取相
abc等的线段。（2009-天津赛）
【分析】只需按题设要求一步一步去做即可，关键是建立完切平面方程后，应注意到切点满足椭球面方程，最好把切平面方程化简成平面的截距式方程。
2x2yx2y2z2解：设F?x,y,z??2?2?2?1，切点为(x0,y0,z0)，Fx??20，Fy??20，
abcab?2z02x2y2zFz??2，故该点处切平面的法向量为n?(20,20,20)，
abcc切平面方程为
2x02y02z0xyz??c2?1。 ，即??????x?x?y?y?z?z?02000222ab2abcx0y0z0a2b2c2a2b2c2???k?k?0?，即x0?,y0?,z0?依题意，有截距。 x0y0z0kkk?a2??b2??c2?????k???k???k??a2b2c2?????????1由于切点在椭球面上，故有，即2?2?2?1，
a2b2c2kkk222从而解得k?a2?b2?c2， 于是有x0?a2a?b?c222,y0?b2a?b?c222,z0?c2a?b?c222。
切平面方程为x?y?z?a2?b2?c2。
题型4与函数的全微分、方向导数和梯度有关的题
1例25设函数f(u)可微,且f??0??,则z?f?4x2?y2?在点(1,2)处的全微
2
分dz?1,2?? （研）
解：
?z?z1??2yf?(4x2?y2)??2，?8xf?(4x2?y2)?8??4，
(1,2)(1,2)?y(1,2)?x(1,2)2??z?zdx?dy?4x?2dy。 ?x(1,2)?y(1,2)?1,2?dz?1,2?【评注】一般地，若z?f?x,y?,则dz?u?x??z?zdx??x(x0,y0)?y?u?ydy?(x0,y0,z0)dy；
(x0,y0)若u?f?x,y,z?,则du(x0,y0,z0)?dx?(x0,y0,z0)?u?zdz。
(x0,y0,z0)例26.设函数z?z(x,y)由方程z?y?x?xez?y?x?2所确定，则
dz? （2006-天津赛）.
解1:令F(x,y,z)=z?y?x?xez?y?x?2，则由隐函数的求导公式得
Fx??z?1?ez?y?x?xez?y?x1?ez?y?x?xez?y?x?????z?y?x?x1?xe1?xez?y?x?Fz，
Fy??z?1?xez?y?x1?xez?y?x??????1 z?y?xz?y?x?y1?xe1?xeFz??z?z1?ez?y?x?xez?y?xdx?dy。 故dz?dx?dy??x?y1?xez?y?x解2：由全微分形式不变性，得dz?dy?dx?ez?y?xdx?xez?y?x(dz?dy?dx)?0，
1?ez?y?x?xez?y?xdx?dy。 故dz?z?y?x1?xe【评注】求由隐函数所确定的函数的全微分时，既可以先利用隐函数的求导方法求出偏导数，再利用全微分的计算公式得dz，也可以利用全微分形式不变性得dz
例27函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处，沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为 （2005-天津赛）。
?u1解：??x(1,0,1)x?y2?z2?(1,0,1)1?u1y，??2?y(1,0,1)x?y2?z2y2?z2 ?0，
(1,0,1)
?u1z???z(1,0,1)x?y2?z2y2?z2?(1,0,1)1， 2?????221l?AB?(2,?2,1)，cos??,cos???,cos??,
333?f?l?(2,?2,1)?u?xcos??(2,?2,1)?u?ycos??(2,?2,1)?u?zcos??(2,?2,1)1。 2【评注】一般地，
?f?l?f?l?fx(x0,y0)cos??fy(x0,y0)cos?，
(x0,y0)?fx(x0,y0,z0)cos??fy(x0,y0,z0)cos??fz(x0,y0,z0)cos?，其中
(x0,y0,z0)co?s,c?os?l的方向余弦。 是向量,?cox例28.函数f(x,y)?arctan在点(0,1)处的梯度等于 。
y（2008-研）
?f?x1y?x1?()2y?f?x解：?1,(0,1)(0,1)?f?y(0,1)xy2?x1?()2y??0，
(0,1)所以gradf(0,1)???fi??y(0,1)??j?i。
(0,1)【评注】一般地，gradf(x0,y0)?(fx(x0,y0),fy(x0,y0))；
gradf(x0,y0,z0)?(fx(x0,y0z0,),fy(x0,y0,z0),f(x0,y0,z0))。
例289求a,b,c的值，使函数f(x,y,z)?axy2?byz?cx3z2在点M(1,2,?1)处沿
z轴正方向的方向导数有最大值64.
解：fx?(x,y,z)?ay2?3cx2z2,fy?(x,y,z)?2axy?bz,fz?(x,y,z)?by?2cx3z，
fx?(1,2,?1)?4a?3c,fy?(1,2,?1)?4a?b,fz?(1,2,?1)?2b?2c，
?设l?(1,0,0)，则cos??1,cos??0,cos??0，
故
?f?l?fx?(1,2,?1)cos??fy?(1,2,?1)cos??fz?(1,2,?1)cos??4a?3c，
(1,2,?1)
?由方向导数与梯度的关系知，当l?(1,0,的方向与梯度
gra(d1f,?2,?1)?(a4 c3?a,4b?的方向一致时，方向导数达到最大值。bc?4a?3c?64?据题意有?4a?b?0，故a?4,b?c?16。
?2b?2c?0? 【评注】方向导数沿梯度的方向达到最大值，且其最大值为梯度的模。
题型5 与多元函数极值有关的题
例30已知函数f(x,y)在点(0,0)的某个邻域内连续，且
limf(x,y)?xy?1，则 222(x?y)(x,y)?(0,0)(A) 点(0,0)不是f(x,y)的极值点； (B) 点(0,0)是f(x,y)的极大值点； (C) 点(0,0)是f(x,y)的极小值点； (D) 无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点.
（研）
【分析】 由题设，容易推知f(0,0)?0，因此点(0,0)是否为f(x,y)的极值，关键看在点(0,0)的充分小的邻域内f(x,y)是恒大于零、恒小于零还是变号.
解：应选（A） 由
(x,y)?(0,0)limf(x,y)?xy?1知，分子的极限必为零，从而有f(0,0)?0, 222(x?y)且f(x,y)?xy?(x2?y2)2?o[(x2?y2)2] (x,y充分小时），于是
f(x,y)?f(0,0)?xy?(x2?y2)2?o[(x2?y2)2].
特殊地，当y?x且x充分小时，f(x,y)?f(0,0)?x2?4x4?0；而当y??x且x充分小时，f(x,y)?f(0,0)??x2?4x4?0. 故点(0,0)不是f(x,y)的极值点，应选(A).
【评注】 本题综合考查了多元函数的极限、连续和多元函数的极值概念，题型比较新，有一定难度. 极限表示式转化为极限值加无穷小量，是有关极限分析过程中常用的思想（见例5的评注）。
例31设函数z?f(x,y)的全微分为dz?xdx?ydy，则点（0，0）