（A）不是f(x,y)的连续点 ； （B）不是f(x,y)的极值点； （C）是f(x,y)的极大值点 ； （D）是f(x,y)的极小值点 。 解;应选 （ D ） 因dz?xdx?ydy可得
?z?z?x,?y， ?x?y?z?z?2z?2z?2z?0，C?2?1，又在（0，0）处，?0,?0， A?2?1，B??x?y?y?x?x?yAC?B2?1?0，A?1?0，故（0，0）为函数z?f(x,y)的一个极小值点。
【评注】此题主要考察了极值的充分条件：设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数? 又fx(x0,y0)?0,fy(x0,y0)?0， 令
fxx(x0,y0)?A,fxy(x0,y0)?B,fyy(x0,y0)?C ，则
① AC?B2>0时具有极值? 且当A<0时有极大值? 当A>0时有极小值? ② AC?B2<0时没有极值? ③ AC?B2?0时可能有极值? 也可能没有极值?。
例32设z=z(x,y)是由x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0确定的函数，求
z?z(x,y)的极值点和极值.
【分析】 可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，为此先求出一阶偏导数，
再令其为零即可确定驻点，然后用二元函数极值的充分条件确定是否为极值点，是极大值点还是极小值点，并求出相应的极值.
解： 因为 x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0，方程两边分别对x,y求导数得
2x?6y?2y?z?z?2z?0， ?x?x?z?z?2z?0. ?y?y ?6x?20y?2z?2y??z?0,?x?3y?0,??x?3y,??x令 ??z 得 ?故 ?
??3x?10y?z?0,?z?y.?0????y
?x?9,?x??9,??将上式代入x2?6xy?10y2?2yz?z2?18?0，可得 ?y?3, 或 ?y??3,
?z?3?z??3.???2z?z2?2z由于 2?2y2?2()?2z2?0，
?x?x?x?z?2z?z?z?2z ?6?2?2y?2??2z?0,
?x?x?y?y?x?x?y?z?z?2z?z2?2z 20?2?2?2y2?2()?2z2?0，
?y?y?y?y?y对于驻点(9,3,3)，
?2z A?2?x?2z1?，B?(9,3,3)?x?y6?2z1??，C?2(9,3,3)2?y?5， 3(9,3,3)11?0，又A??0，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值366为z(9,3)=3.
故AC?B2?对于驻点(?9,?3,?3)，类似地，由
?2zA?2?x?2z1??，B?(?9,?3,?3)?x?y6?2z1?，C?2(?9,?3,?3)2?y5??， (?9,?3,?3)311?0，又A???0，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点， 366极大值为z(-9, -3)= -3.
【评注】 本题讨论了隐函数求极值问题，关键是：求可能的极值点时应注
可知AC?B2?Fy?Fx??z?z意x,y,z满足原方程，当然也可以利用公式??及??求两个偏导
?yFz??xFz?数，但由于此题需要求出二阶偏导数在驻点处的偏导数值，故在求A,B,C时，还是用此例的方法运算量小。
例33 设f(x,y)有二阶连续偏导数, g(x,y)?f(exy,x2?y2), 且
f(x,y)?1?x?y?o((x?1)2?y2), 证明g(x,y) 在(0,0)取得极值, 判断此极
值是极大值还是极小值, 并求出此极值.（2008-北京赛）
【分析】为证明g(x,y) 在(0,0)取得极值,必须找出g(x,y)在(0,0)的各个二阶导数，为此需求出f(x,y)在(1,0)点的一阶偏导数，由已知条件自然会想到利用
微分的概念。
解 ：因为f(x,y)??(x?1)?y?o((x?1)2?y2), 由全微分的定义知 f(1,0)?0，fx?(1,0)?fy?(1,0)??1.
??xy???xy??g?x?f1?ey?f2?2x，gy?f1?ex?f2?2y ，gx(0,0)?0， gy(0,0)?0
xy???xy???xy2??xy??? g?xx?(f11?ey?f12?2x)ey?f1?ey?(f21?ey?f22?2x)2x?2f2，
xyxy???xy???xy??xy?? g?xy?(f11?ex?f12?2y)ey?f1?(exy?e)?(f21?ex?f22?2y)2x， xy???xy???xy2??xy??? g?yy?(f11?ex?f12?2y)ex?f1?ex?(f21?ex?f22?2y)2y?2f2，
??A?g?xx(0,0)?2f2(1,0)??2,?(0,0)?2f2?(1,0)??2 C?g?y2??B?g?xy(0,0)?f1(1,0)??1
AC?B2?3?0, 且A?0, 故g(0,0)?f(1,0)?0是极大值.
【评注】此题考察了全微分的概念、复合函数的导数和极值的充分条件，是
概念性、综合性较强的题，当然在求二阶偏导数时，也可以利用偏导数的定义，事实上，这样做运算量会更小。
例 34 设二元函数u(x,y)在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上
u(x,y)?0，并满足
?u?u。 ??u(x,y)，求u(x,y)的表达式.（2005-天津赛）
?x?y【分析】此题乍看好像无从下手，但题设条件：在D的边界曲线上u(x,y)?0给了我们思路，不妨大胆假设处处有u(x,y)?0，然后用反正法证之。
解：显然u(x,y)?0满足题目条件. 下面用反证法证明只有u(x,y)?0满足题目条件.
事实上，假设u(x,y)不恒等于0，则至少存在一点(x1,y1)?D，使得
u(x1,y1)?0，不妨假设u(x1,y1)?0，由于u(x,y)在有界闭区域D上可微，从而
在有界闭区域D上连续，也必在D内至少存在一点(x0,y0)，使u(x0,y0)?M?0为u(x,y)在D上的最大值. 因为u(x,y)在D上可微，所以必有
?u?u?u?0?，于是得到
?x(x0,y0)?y(x0,y0)?x?(x0,y0)?u?y?0. 然而，由题设知
(x0,y0)?u?u??u(x,y)，因此应有u(x0,y0)?0，这与u(x0,y0)?M?0的假设矛盾；同?x?y理可证u(x1,y1)?0的情况. 因此可知在D上u(x,y)?0。
【评注】此题的理论性、概念性比较强，主要考察了函数可微与偏导数存在、连续的关系及极值的必要条件：设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数? 且在点(x0,y0)处有极值? 则有 fx?(x0,y0)?0，fy?(x0,y0)?0，注意极值的必要条件是重要考点。
例35 设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?y?(x,y)?0，已知(x0,y0)是
f(x,y)在约束条件?(x,y)?0下的一个极值点，下列选项正确的是
(A) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (B) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (C) 若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0. (D)若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.
（2006-天津赛） 【分析】 利用二元函数条件极值的拉格朗日乘子法 解：应选(D)
作拉格朗日函数F(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)，并记对应x0,y0的参数?的值为?0，则
?F?(x,y,?)?0?f?(x,y)????(x,y)?0?x000?x000x00 ?， 即? .
??????Fy(x0,y0,?0)?0?fy(x0,y0)??0?y(x0,y0)?0因为?y?(x,y)?0，将?0?? fx?(x0,y0)?1fy?(x0,y0)?y?(x0,y0)代人第一个方程,得
?y?(x0,y0)fy?(x0,y0)?x?(x0,y0).
因此若fx?(x0,y0)?0，则fy?(x0,y0)?0.故应选（D）.
【评注】条件极值的拉格朗日乘子法是重要考点，一般它有以下几种情形：
①求函数z?f(x,y)在条件?(x,y)?0下取得极值的必要条件
可构造拉格朗日函数：L(x,y,?)?f(x,y)???(x,y)
?Lx(x,y,?)?fx(x,y)???x(x,y)?0? 令?Ly(x,y,?)?fy(x,y)???y(x,y)?0，解之可得驻点。
??L?(x,y,?)??(x,y)?0 ②求函数u?f(x,y,z)在条件?(x,y,z)?0下取得极值的必要条件, 可构造拉格朗日函数：L(x,y,,z,?)?f(x,y,z)???(x,y,z)
??(x,y,z,t)?0③求函数u?f(x,y,z,t)在条件?下取得极值的必要条件
?(x,y,z,t)?0?可构造拉格朗日函数：L(x,y,,z,t,?,?)?f(x,y,z,t)???(x,y,z,t)???(x,y,z,t)。
例36在椭球面2x2?2y2?z2?1上求一点，使函数f(x,y,z)?x2?y2?z2在
???该点沿方向l?i?j的方向导数最大.（2004-天津赛）
解：函数f(x,y,z)的方向导数表达式为：
?f?f?f?f??cos??cos??cos?
?y?z?l?x?11其中：cos??，cos???，cos??0为方向l的方向余弦. 因此
22?f??2(x?y) ?l由题意即求函数2(x?y)在条件2x2?2y2?z2?1下的最大值. 设F(x,y,z,?)?2(x?y)??(2x2?2y2?z2?1)
??F??x???F???y令???F??z???F?????2?4?x?0??2?4?y?0解之得z?0以及x??y???2?z?0?2x2?2y2?z2?1?01，即得驻点为2