行列式的计算方法
数学与信息科学学院 数学与应用数学专业
摘要：行列式是高等代数的一个基本概念。求解行列式是在高等代数的学习中经常遇到的基本问题。本文主要介绍了求行列式值的常用方法和一些特殊的行列式求值方法。如化三角形法、降阶法、升阶法、归纳发、范德蒙行列式等十多种方法。并对相应例题进行了分析和归纳，总结与每种方法相适应的行列式的特征。 关键词：行列式的定义 行列式的性质 计算方法
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1 行列式的基本理论
（1）行列式的定义
a11a21行列式的定义:n阶行列式用符号Dn??an1a12?a1na22?a2n表示，它代表n！项的代数
??an2?ann和，这些项是一切可能的取自于Dn中不同行不同列的n个元素的乘积a1j1a2j2?anjn，项，a1j1a2j2?anjn的符号为(?1)?(j1j2?jn)，即当j1j2?jn为偶（奇）排列时该项的符号为正（负）也就是说
Dn?j1j2?jn?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn这里j1j2?jn表示对所有n阶排列求和。
?（2） 行列式的性质
首先我们应该熟练掌握并会运用行列式的以下性质: 性质1:行与列互换，行列式的值不变。
性质2：某行或列的公因子可以提到行列式的符号外。
性质3：如果某行(列)所有元素都可以写成两项的和，则该行列式可以写成两个行列式的和；这两个行列式的这一行(列)的元素分别对应的两个加数之一，其余各行(列)的元素与原行列式相同。
性质4：两行(列)对应的元素相同，行列式的值为零。 性质5：两行(列)对应的元素成比例，行列式的值为零。 性质6：某行(列)的倍数加到另一行(列)，行列式的值不变。 性质7：交换两行(列)的位置，行列式的值变号。
2 行列式的计算方法
2.1 直接展开法和拉普拉斯展开法
直接展开法即运用行列式的定义直接将行列式展开计算。
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a11?a1k??ak1?akkc11?c1k??cn1?cnka11a21 （2）证明D5?a31a41a51a12a22a32a42a52a13a230000??0?a11?a1kb11?b1n例1：（1）证明D?0?0?????.
b11?b1nak1?akkbn1?bnn??bn1?bnna14a24000a15a250?0。 00a11?a1kb11?b1n?,D2???，D??(dij)，i,j?1,2,?, 证：（1）设D1??ak1?akkbn1?bnnk,k?1,?,k?n，其中dij?aij,i,j?1,2,?,k,d(k?i)(k?j)?bij,i,j?1,2,?,n。
由定义得D??(dij)? = = = =
r1r2?rk?n?(?1)?(r1r2?rk?n)d1r1d2r2?dkrkd(k?1)r(k?1)?d(k?n)r(k?n)
r1?rk(k?p1)?(k?pn)?[r1?rk(k?p1)?(k?pn)](?1)a1r1a2r2?akrkb1p1?bnpn ?(r1r2?rk)r1?rk(k?p1)?(k?pn)?(?1)?(?1)?[(k?p1)(k?p2)?(k?pn)]a1r1a2r2?akrkb1p1?bnpn
r1?rk?(?1)?(r1r2?rk)a1r1a2r2?akrka1r1a2r2?akrk0?(k?p1)?(k?pn)?(?1)?[(k?p1)(k?p2)?(k?pn)]b1p1?bnpn
r1?rk?(?1)??(r1r2?rk)p1?pn?(?1)?(p1p2?pn)b1p1?bnpn=D1D2。
a11?a1k?ak1?akk则
c11?c1k??cn1?cnk0??a11?a1kb11?b1n0?0?????。
b11?b1nak1?akkbn1?bnn??bn1?bnnp1?p5（2）由行列式的定义可知D5??(?1)?(p1?p5)a1p1a2p2a3p3a4p4a5p5。由于在p3,p4,p5中至少
有一个大于等于3，因此始终有a3p3a4p4a5p5?0，故
D5?p1?p5?(p1?p5)(?1)a1p1a2p2a3p3a4p4a5p5?0 ? 3
我们引入以下定理，拉普拉斯定理：任意取定n阶行列式D的某k行(列)(1?k?n)，由这k行(列)元素所组成的一切k阶子式(共有于行列式D。
拉普拉斯定理的四种特殊形式：
1）
kCn个)与它们的代数余子式的乘积的和等
AnnCmn0Bmm0BmmAnnCmn?Ann?Bmm 2）
Ann0Cnm?Ann?Bmm Bmm3）。
?(?1)mnAnn?Bmm 4）
CnmBmmAnn0?(?1)mnAnn?Bmm
例2：计算2n阶行列式
nn?1?D2n??n?1n?2解：
n?1?12D2n按1行展开n(?1)1?1?n?1034??nn?1n?1234?n?2n?3
01?2n（?1）+(n+1)
n?2n?30n?1?1234?n?1??n第一个行列式按第2n-1行展开第二个行列式按第1列展开
n?20n?2 4
(2n-1)?(2n-1)n(n?3)(-1)D2n?2?(n?1)(n?2)(?1)(2n?1)?1D2n?2n(n?3)D2(n?1)?(n?1)(n?2)D2(n?1)??2D2(n?1)
于是可得D2n??2D2(n?1)=(?2)2D2(n?2)???(?2)n?1D2?(?2)n。
2.2 利用行列式的基本性质计算
有些行列式直接展开比较复杂，我们可以运用行列式的基本性质将行列式简化然后再展开计算。
a1?b1a2?b1例3：计算n阶行列式Dn=
?an?b1a1?b2...a1?bna2?b2...a2?bn。
??an?b2...an?bn解：将第一行的-1倍加到第2,3,...,n行，得
r2?r1a1?b1a1?b2...a1?bnr3?r2a2?a1a2?a1...a2?a1Dn当n?3时，由于上式右端的行列式中至少有两
????r?ran?a1an?a1...an?a1n1行成比例，则Dn=0。当n=1时，D1=a1?b1；当n=2时，
D2=
a1?b1a1?b2a2?b1a2?b2=(a1?b1)(a2?b2)?(a1?b2)(a2?b1)?(a1?a2)(b2?b1)
例4：计算2n阶行列式
aa?aD2n?0c?cc0d?d0b0?bb。
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