10011?x11?x122Dn升阶11?x21?x2???c2?c11?1?1??12n?1?x1n?1x1x1?x1n2ncn?1?c11x2x2 ?1?x2?x2??????1xn2nxn?xn02n11?xn1?xn?1?xn把第一行拆成两项之和，再利用范德蒙型行列式的结果，得
2?(?1)0?(?1)0?(?1)?0?(?1)Dn?11?121 1?0x1x2?0x1x2?xn?0x122x2?2xn???11x1nnx2?nxn?
1?1x12?x1n1x12n?1x2x2?x2????2nxn?xnx12?x1n2n? x2?x2??2nxn?xn1xn1xnn 2x1?xn1?j?k?n?(xk?xj)??(xi?1)i?1nn1?j?k?n?(xk?xj)?
1?j?k?n?(xk?xj)[2?xi??(xi?1)]?右端
i?1i?11cosa11cosa2例16：计算行列式D4?1cosa31cosa42cos2a1?14cos3a1?3cosa12cos2a2?14cos3a2?3cosa2。 232cosa3?14cosa3?3cosa32cos2a4?14cos3a4?3cosa4解：根据倍角公式，有cos2ai?2cos2ai?1，
cos3ai?4cos3ai?3cosai代入行列式得
1cosa1D4?1cosa21cosa31cosa41cosa11cosa281cosa31cosa4
4cos3a1?3cosa1c?c31232cosa2?14cosa2?3cosa2c4?3c2 232cosa3?14cosa3?3cosa32cos2a4?14cos3a4?3cosa4cos3a1cos3a2?8?(cosai?cosaj) 3cosa34?i?j?1cos3a416
2cos2a1?1cos2a1cos2a2cos2a3cos2a4
2.12 利用行列式乘法公式计算行列式
设A?(aij)n?n,B?(bij)n?n,则其行列式具有性质AB?AB。这一结果也给出了如何把两个n阶行列式相乘得到一个n阶行列式的方法，即
a11a21?an1a12?a1nb11b12?b1nc11c12?c1na22?a2nb21???b22?b2nc21????c22?c2n其中
??an2?annbn1bn2?bnncn1cn2?cnncij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj (i,j?1,2,?,n)
这一公式也成为行列式乘法公式，灵活运用该公式可以简化行列式的计算
abc?ba?d例17：计算4阶行列式D4??cda?d?cbdc。 ?ba2T分析：所给的行列式利用行列式乘法公式求得D4，再确定出D4的符号即可?D4D4求出D4。
解：根据行列式乘法公式得
abc?ba?d2TD4?D4D4??cda?d?cba2?b2?c2?d20000dc?baa?b?c?dbadc?
c?da?bdc?ba00a2?b2?c2?d20000a2?b2?c2?d2a2?b2?c2?d200=
(a2?b2?c2?d2)4所以D4??(a2?b2?c2?d2)2
根据行列式定义可知D4的展开式中有一项为(?1)?(1234)a11a22a33a44?a4，故可得
D4?(a2?b2?c2?d2)2 例18：计算4阶行列式
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(a1?b1)3D4?(a2?b1)3(a3?b1)(a4?b1)33(a1?b2)3(a2?b2)3(a3?b2)(a4?b2)33(a1?b3)3(a2?b3)3(a3?b3)(a4?b3)33(a1?b4)3(a2?b4)3(a3?b4)(a4?b4)33
分析：直接展开计算量较大，注意到每一项都能展开成4项之和，即
(a?b)3?a3?3a2b?3b2a?b3，可考虑用行列式乘法公式，将原行列式分解成两个容易计算的行列式的乘积，然后化简计算。
解：将行列式中每一项展开，并利用行列式乘法公式和范德蒙型行列式的结果，得
a133a2D4?3a33a43a1223a223a323a43a1113a21b123a31b13a41b1ij31b22b23b21b3b323b3111a22a23a21a32a33a311a4b12a4b123a4b131b22b23b21b3b323b31b4 2b43b4b4a1?92b4a123b4a13=94?i?j?1?(a?a)?(b?b)
ij4?i?j?12.13 按行列展开计算行列式 我们先引进代数余子式的概念。
定义：在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列元素划去后，所留下的n-1阶行列式，称为元素a的代数余子式，记为M，即a的代数余子式
a11?Mij??a1,(j?1)?a1,(j?1)??a1n?a(i?1),1?a(i?1),(j?1)a(i?1),1?a(i?1),(j?1)?an1??an,(j?1)a(i?1),(j?1)?a(i?1),na(i?1),(j?1)?a(i?1),n?an,(j?1)??ann，而称(?1)i?jMij为aij的代数余子式，记
为Aij，即Aij?(?1)i?jMij。
引理：如果n阶行列式Dn中，第i(i?1,2,?,n)行元素除aij(j?1,2,?,n)外均为零，则该行列式等于元素aij与其代数余子式Aij的积，即
Dn?aijAij?(?1)i?jaijMij
定理：行列式等于它的任意一行或列个元素与其代数余子式乘积的和，即
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Dn?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin??aikAik(i?1,2,?,n) （1）或
i?1nDn?a1jA1j?a2jA2j???anjAnj??akjAkj(j?1,2,?,n) （2）
k?1n（1）式称为行列式Dn按第i行的展开式，（2）式称为行列式Dn按第j列的展开式，其中Aik与Akj均为n-1阶行列式。
用按行（列）展开法计算行列式时，反复使用此定理，把高阶行列式降成低阶行列式，直到求出结果。为了计算简便，每次展开前应首先利用行列式的性质，使行列式某行或某列出现尽量多的零（最好出现n-1个零），这样才能达到简化计算的目的。
ab00?000ab0?0000ab?00??????0000?abb000?0a例19：计算n(n?4)阶行列式Dn?。
解：此行列式中各行各列有n-2个零元素，现在直接按第一行展开：
ab0?000ab?00Dn?(?1)1?1a?????(上三角形Dn?1)+
000?ab000?0a0b0?000ab?00Dn?(?1)1?2b???) ??(Dn?1,再按第一列展开000?abb00?0aba=a?an?1?b?(?1)n?1?1b?0=an?(?1)nyn
0?00b?00(下三角形Dn?2)
???0?ab推论：行列式任意一行或列的元素与其他行或列对应元素的代数余子式乘积的和为零，即
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ai1Ar1?ai2Ar2???ainArn?0(i?r)，
a1jA1k?a2jA2k???anjAnk?0(j?k)
2.14 归纳与递推法
在行列式的计算与证明中，归纳与递推法也是一种行之有效的方法，举例说明如下
abab??例20：计算2n阶行列式Dab2n?cd。??cdcdab??ab解：首先按第一行展开，得D2n?(?1)1?1acd??cd000ab??ab(?1)1?2nbcd
??0cdc00(2n?1)?(2n?1)再将右边两个（2n-1）阶行列式按最后一列展开，便得
ab??D?1)?(2n?1)2n?a(?1)(2ndabcd?
??cd(2n?2)?(2n?2)20
0?
0d(2n?1)?(2n?1)