a?(?1)(2n?1)?1c?cabcd??b
d(2n?2)?(2n?2)=adD2n?2?bcD2n?2?(ad?bc)D2n?2
按此规律递推下去，共经过2n?2?2(n?1)次展开，终得
D2n?(ad?bc)n?1D2?(ad?bc)n?1ab?(ad?bc)n。 cd2.15 利用方阵特征值与行列式的关系
a1?ba2a3?ananan??an?ba1a1?a1a1?ba2a3?ananan??an?ba1a1?a1a1a1 ?bEn?a1?a1a2?ba3?a2a3?b??a2a2a2a2?a2?a3a3?ana3?ana3?an?bEn?An ??a3?ann例21：计算如下行列式的值Mn?a2?ba3?a2a3?b??a2?a3
解：Mn?
显然bEn的n个特征值为b,b,b,?,b。An的n个特征值为?ai,0,0,?,0。故Mn的特
i?1征值为 b??ai,b,b?,?,b。由矩阵特征值与对行列式的关系知Dn?Mn?b????i?1n?1nn?1(?ai?b)。
i?1n例21中，主对角线上的元素为ai?b(i?1,2,?,n) ，我们使得主对角线上的元素为
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?1a2a1?2a3?ana3?an?3?an??a3?ana3??n?1,?2,?,?n ，可 Dn?a1?a1a1a2?a2a2。
分析：根据这题行列式的特点，每行都有相同的因子a1,a2,?,an ，所以本题适用加边法。(本题有多种解法，据上分析，仅以加边法推出。)
1a10?10a1??0a10a11(i?2,?,n)?1 r?r?i1?1?11???ia?iaii?1na2a2a3?ana3?ana3?an
??a3?ana3??na10?00a1解：
Dn??2?a2a2a20a3?00?00a20?2?a2?00nan00?0n?1?1?1?a1????2?a2?00
??n?ana3?00?00??an00?
1c1??i?aici?1(i?2,?,n)00?00n?1?a10?00
?0??n?an(n?1)?(1??i?1nai?i?ai)??(?i?ai)??(?i?ai)?[ai??(?j?aj)]
i?1i?1j?1j?inn?1nn?1nn特别地，当?i?ai?b时 (i?1,2,?,n)Dn??aib?b?b(b??ai) 与例21的答案一致。
i?1i?1
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2.16 行列式计算的杂例
ab?bbca?bb例22：计算n阶行列式Dn?????。
ccc?abc?ca解：（1）当b=c时，Dn是行的和相等的行列式，从而
c1?c2a?(n?1)bb?br2?r1a?(n?1)bb?b?a?(n?1)ba?b?0a?b?0rn?r1 c1?cnDn??????a?(n?1)bb?a00?a?b=(a?b)n?1[a?(n?1)b]
（2）当b?c时，将Dn的第n列元素写成两个数的和0?b,?,0?b,(a?b)?b，所以可将Dn拆成两个行列式之和
ab?bcDn??cca?b??00?ab?bbc??cca?bb(1)第n列展开???
(2)cn?bc?abc?cbc?a0c?ca?bab?b1c1?ccna?cb?c?b?c1?ca?b10a?c?b?c1(a?b)Dn?1?b????cn?1?ccn(a?b)Dn?1?b????
cc?a100?a?c1cc?c100?01TTTn?1=(a?b)Dn?1?b(a?c)n?1对Dn按上面方法推导可得Dn。 ?(a?c)Dn?1?c(a?b)T由于Dn?Dn，则有Dn?(a?c)Dn?1?c(a?b)n?1
?Dn?(a?b)Dn?1?b(a?c)n?1联立求解二元一次方程组?得 n?1D?(a?c)D?c(a?b)n?1?nb(a?c)n?1?(a?b)c(a?b)n?1?(a?c)c(a?b)n?b(a?c)nDn??1?(a?b)c?b
1?(a?c)
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f(x)1例23：求极限lim3g(x)h?0hs(x)f(x?h)g(x?h)s(x?h)f(x?2h)g(x?2h)，其中f(x),g(x),s(x)存在2阶导数。 s(x?2h)分析：把行列式展开再取极限比较复杂，观察行列式中各项的特点，利用行列式的性质做适当变形，然后再运用洛必达法则计算。
解：由于f(x),g(x),s(x)存在2阶导数，把所求极限进行适当变形，可得
c3?2c2?c1c2?c1f(x)g(x)s(x)f(x?h)?f(x)g(x?h)?g(x)s(x?h)?s(x)lim原式
limh13h?0f(x?2h)?2f(x?h)?f(x)g(x?2h)?2g(x?h)?g(x)= s(x?2h)?2s(x?h)?s(x)f(x)limg(x)s(x)f(x?h)?f(x)h?0hg(x?h)?g(x)limh?0hs(x?h)?s(x)limh?0hf(x?2h)?2f(x?h)?f(x)h?0h2g(x?2h)?2g(x?h)?g(x)limh?0h2s(x?2h)?2s(x?h)?s(x)limh?0h2f?(x)limg?(x)s?(x)2f?(x?2h)?2f?(x?h)h?02h2g?(x?2h)?2g?(x?h)limh?02h?2s(x?2h)?2s?(x?h) limh?02hf(x)g(x)利用导数定义及洛必达法则f(x)=g(x)s(x)f?(x)g?(x)s?(x)s(x)f??(x)g??(x)。 s??(x)x1bax2b?baa??aaa。 ?例24： 计算Dn?b?bx3??b?xn解：（1）当a=b时，用第一行的（-1）倍分别加到其他各行得
x1a?x1Dn?a?x1?a?x1
ax2?a0?0a?a00?0?x3?a??0按第一行展开可得
?xn?a24
Dn?x1(x2?a)(x3?a)?(xn?a)?a(x1?a)(x3?a)?(xn?a)?? ?a(x1?a)(x2?a)?(xn?1?a)。
（2）当a?b时，将第n列拆成两项的和，则有
x1bDn??bba?aa?b0?0b00?0xn?ax1b??bba?bb0?aa?aa?= aa00?00n?1?=(xn?a)Dn?1?a?(xi?b)
i?1x2??bb?x2??xn?1?xn?1??bx1?ba?x2 (xn?a)Dn?1?x2?ba?x3???0b0b?xn?b0?ban?1i?1由对称性可得 Dn?(xn?b)Dn?1?b?(xi?a)
n?1?Dn?(xn?a)Dn?1?a?(xi?b)??i?1联立?求解可得 n?1?Dn?(xn?b)Dn?1?b?(xi?a)?i?1?
Dn?1a?b[a?(xi?b)?b?(xi?a)]i?1i?1n?1n?1
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