a?a按第1行展开a0c?0d?0b0?b0解：D2n?b(?1)1?2n
cd00d?????????????2(n?1)0a?a0c?0d?0b0?b=adD2(n?1)?bcD2(n?1)?(ad?bc)D2(n?1)
0cdc0?????????????2(n?1)?(ad?bc)2D2(n?2)?(ad?bc)3D2(n?3)???(ad?bc)n?1D2= (ad?bc)n?1ab?(ad?bc)n。 cd2.3 计算行或列相等的行列式
对于一些行或列相等的行列式我们一般将其各行或列加到第一行或列然后再化简计算。
例5：计算下面行列式
xa1Dn?1?a1?a1a1xa2?a2a2?ana2?anx??an?x
na3?解：将其各列加到第1列，并提出公因子(x??ai)可得
i?1 6
D=(x??ai)1a2i?11?1a2nnn1a11xa2?anr?r31a2?an?nx?anr?r(x??ai)n?11i?1??a3?xr2?r110a1x?a100x?a2????000?0a2?a1??0a2?a1=
a3?a2?x?an(x??ai)??(x?ai)
i?1i?12.4 两条线型行列式的计算
计算两条线型行列式要根据行列式的特点和性质进行化简、计算。为了更好的研究两条线型行列式的计算首先我们要讨论一些特殊行列式的值。
(1)上(下)三角行列式等于其主对角线上的元素的乘积，即
a11a12?a1na11a22??an2?ann?a11a22?ann
a22?a2na21????annan1（2）次三角形行列式的值等于添加适当正、负号的次对角线元素的乘积，即
a11?a1,n?1a21?a2,n?1??an1a1n?a2,n?1??an1?an,n?1a1nn(n?1)a2n?(?1)2a1na2,n?1?an1 ?ann分块三角形行列式可化为低级行列式的乘积，即
a11?a1m??am1?ammc11?c1m?cn1??cmm0??0?a11?a1m??c11??c1n?0?0am1?amm?b11?b1n0?0???0??0bn1?bnncm1?cmm?
b11?b1n??bn1?bnna11?a1mb11?b1n????am1?ammbn1?bnn 7
0??0?a11?a1m??c11?c1n??a11?a1m??am1?amn?
0?0?0??00?0b11?b1n??bn1?bnnam1?ammcm1?cmn?c11?c1mb11?b1n?c11??c1m??bn1?bnn(?1)mna11?a1mb11?b1n????am1?ammbn1?bnna0例6：计算n阶行列式Dn??0b 0?0??b?0?0b?00b0?。 0a解：按第一列展开得
0?b??Dn?ab?00?0 =a(?1)2(n?2)(n?3)200?0b0?b(n?1)(n?2)?0?b0n?12n?1?b(?1)?a???(?1)(?1)2bn 0???b?0ab?00bn?2?(?1)n?1(?1)(n?1)(n?2)2b?(?1)nn(n?1)2bn?2(b2?a2)
2.5 箭形行列式的计算
a11对于形如
a12?a1na22?anna1n,
a11a12an?1,2?a1n?a2n?ann,
a11a22an1an2?a1n??an?1,nann,
a21?an1an1a11a21?an1an?1,2an2?的箭形(爪形)行列式，可以利用对角元素或次对角元素将一边消
?ann为0然后直接利用行列式的性质化为三角形或次三角形行列式来计算。
8
1100?例7：计算Dn??0n?1n0?11?21??。 ?01?011?1(1?12???n)?20 ???00?00cn?112cn?11?00cn?1cn1解：Dn??0n?1n0=(?1)n(n?1)21 n!(1?12???n)2.6 三对角行列式的计算
a11a21a12a22a32a23???an?1,n?1an,n?1an?1,nann形如的行列式我们称之为三对角行列式，可以直接展开
得到两项地推关系Dn??Dn?1??Dn?2然后用一下方法求解。
方法1：若n较小，可以直接递推计算。
方法2：用第二数学归纳法证明：验证n=1时结论成立，假设n?k时结论成立，如果能证明n=k+1时结论成立则对任意自然数结论都成立。
方法3：将Dn??Dn?1??Dn?2变形为Dn?pDn?1?q(Dn?1?pDn?2)，其中
p?q??,?pq??有韦达定理可知p和q是一元二次方程x2??x???0的两个根。令
则利用f(n)?qf(n?1)递推求出f(n)，再由Dn?pDn?1?f(n)递推求出f(x)?Dn?pDn?1，
Dn。
方法4：设Dn?xn。代入Dn??Dn?1??Dn?2?0可得xn??xn?1??xn?2?0。称
n求出其根x1和x2(假设x1?x2)，则Dn?k1x1n?k2x2。其中k1，k2x2??x???0为特征方程，
可以通过令n=1和n=2来求得。
9
???1?????1例8：计算n阶行列式Dn???????????1???。
解：按第1列展开得
1Dn?(???)Dn?1???(?1)1?2?????1??????????1???=(???)Dn?1???Dn?2变形为
Dn??Dn?1??(Dn?1?Dn?2)由于D1????，
D2?(???)2?????2?????2，利用以上递推公式可得
Dn??Dn?1??(Dn?1??Dn?2)??2(Dn?2??Dn?3)????n?2(D2??D1)??n故有
Dn??Dn?1??n??(?Dn?2??n?1)??n?a2Dn?2???n?1??n???
?n?1D1??n?2?2????n?1??n??n??n?1??????n?1??n
cosa112cosa112cosa?1?1?2cosa112cosa?cosna
例9：证明Dn?解：第二数学归纳法 当n=1时，左边=cosa?右边；当n=2时，左边=
cosa1?2cos2a?1?cos2a?右边。
12cosa假设对于任意阶数小于n的行列式等号都成立，然后证明n阶行列式成立。记左边的n阶行列式为Dn，按最后一行展开，可得Dn?2cosaDn?1?Dn?2
由归纳假设可得，有Dn?1?cos(n?1)a，
Dn?2?cos(n?2)a?cos[(n?1)?a]?cos(n?1)acosa?sin(n?1)asina， 所以Dn?2cosacos(n?1)a?cos(n?1)acosa?sin(n?1)asina=
10