cos(n?1)acosa?sin(n?1)asina?cos[(n?1)a?a]?cosna
注：第二数学归纳法是先验证n=1时命题成立，假设命题对于n?k的一切自然数成立，若推出n=k+1时命题也成立，则命题对于所有自然数n成立。
2.7 Hessenberg型行列式的计算
a11a21a12a22a32a13a33??an,n?1a1,n?1an?2,2an?1,1an1an?1,2an2an3?ann1223?2??n?2?(n?2)n?1?(n?1)n?1n?a1na11，annan1a1na12a22a23a33??an?1,nan2an3?anna11，a12a13an?2,3?a1n?a2n， ?形如
an?1,2an1an2an?1,3?an?2,3?的行列式称为Hessenberg型行列式，对于这种行列式
可以直接展开得到递推公式，也可以利用行列式的性质化简计算
?1?1例10：计算n阶行列式Dn?。
解：将第1,2,?，n-1列加到第n列，可得
121?1Dn?23?2??n?2?(n?2)n?11)! (?1)n?1(n?2?n?1n(n?1)21?1?n(n?1)2?(?1)1?n2?=
??(n?2)n?102.8 可采用升阶法计算的行列式
行列式的计算的一般方法是降阶法，但对于某些特殊行列式，如除对角元（或次对角元）外，其余元素相同或成比例的行列式，有时加上一行一列变成n+1阶的行列式，特别是第1列为(1,0,?,0)T并适当选择第1行的元素，就可以使化简更加方便，且化简后常变
11
成箭形行列式，这一方法称为升阶法或加边法。
例11：设x是n?1矩阵，y是1?n矩阵，其中a是实数，证明：E?axy?1?ayx 证明：设x=(x1,x2,?,xn)T，y?(y1,y2,?yn)，则
1?ax1y1?ax1y2??ax1ynE?ay??ax2y11?ax2y2??ax2yn???升阶 ?axny1?axny2?1?axnyn1y1y2?ynr01?ax2?ax1r11y1y2?1y1?ax1y2??ax1yn?ax110?ax2y11?ax2y2??ax2ynrn?1?axnr1ax21??????0?axny1?axny2?1?axnynaxnc1?(ax1y1?ax2y2???axnyn)y1y2?yn1?ax1c21?=
c11?axncn?1?1n1?a?xiyi?1?ayx
i?12.9 将行列式拆成两个行列式的和计算
a11a12a13?a1n行列式的拆分：a21a22a23?a2n????=
an?1,1an?1.2an?1,3?an?1,nan1?b1an2?b2an3?b3?ann?bna11a12a13?a1na11a12a13?a1na21a22a23?a2na21a22a23?a2n????????? an?1,1an?1,2an?1,3?an?1,nan?1,1an?1,2an?1,3?an?1,nan1an2an3?annb1b2b3?bn例12：计算n阶行列式
12
yn
1
xaaax???aaaa?axDn??a?aaa。
??????a?a?a??ax解：将第n行写成两项的和再分成两个行列式，然后把第2个行列式的第n列分别加到前面各列，可得
x?aDn??0ax?00(x?a)Dn?1?0?00aax?0x?a?a?a?a??02ax?a0?00aaa?ax?a2a2a?00????x?a?ax?aax????aaa?xaaa?a?a?a?a?a=
?a?a?a?x?a?a?a?2a2a2a?0aaa?a?a?a?a??aax?a?=(x?a)Dn?1?a(x?a)n?1 ?
?x?aa同理，将第n行写成另外两项之和再分成两个行列式，又可得
x?aDn??0ax?0x?a?2a(x?a)Dn?1??2a??2a?aaax?00x?a?2a??2a?a?a?a?a??000??a?aaa?ax?a???x?a?ax?aax????aaa?xaaa?a?a?a?a?a=
?a?a?a?x?a?a?a?000??a000?0?a?a?a?a??a?ax?a?=(x?a)Dn?1?a(x?a)n?1 ?
?2a?x?ann联立?，?解方程组，解得Dn?1。 2[(x?a)?(x?a)]2.10 相邻行（列）元素差1的行列式的计算
以数字1,2,3，?，n为（大部分）元素，且相邻两行（列）元素差1的n阶行列式
13
可以用以下方法计算：从第1行（列）开始，前行（列）减去后行（列）；或从第n行（列）减去前行（列），即可出现大量元素为1或-1的行列式，再进一步化简即得出现大量零元素。
对于相邻两行（列）元素相差倍数k的行列式，采用前行（列）减去后行（列）的-k倍，或后行（列）减去前行（列）-k倍的方法，即可使行列式中出现大量的零元素
123?n?1234?nn112 例13：计算n阶行列式Dn?345??????n12?n?2n?1解：从第n-1行开始，每行乘（-1）加到下一行直到第1行得
11Dn?1?111n(n?1)2nc1?c2n(n2?1)211?11?n?01c1?cn11?1?n101??????1?n1?1101?n23?n?11?ncn?1?c1?1?1?n1cn?1?cn?2???1?n?111?11?101?1?00??n1?10?00n?13?n?11??1?111?1?1?111?1?nn1?n1? ?1?1? ?1?111n(n?1)2?1?n?1?11?n?11?n?1?n?1?r2?r11?0rn?1?r1n(n?1)?20?n(?1)n(n?1)n?1n(n?1)2??n?0??n(n?1)2(?1)(n?1)(n?2)2(?1)(?n)n?2?
2
2.11 范德蒙型行列式的计算
11a1a22形如a12a2??n?1a1n?1a21an2的行列式我们称之为范德蒙型行列式， an?n?1?an??? 14
11a1a22a12a2??n?1a1n?1a2n?i?j?11an2=an?n?1?an???2?(a?a)?(aij?a1)(a3?a1)?(an?a1)?(a3?a2)?(an?a2)????(an?an?1)
即等于a1,a2,?,an这n个数所有可能的差ai?aj(1?j?i?n)的乘积
1a例14.：计算4阶行列式D?2aa41bb2b41cc2c41d。 d2d4分析：可以看到D不是范德蒙型行列式，但它具有范德蒙型行列式的一些特点。可以构造5阶的范德蒙型行列式，再利用范德蒙型行列式的结果，间接地求出D的值。
解：构造5阶范德蒙型行列式
1a1bb2b3b41cc2c3c41dd2d3d41xx2，~按5列展开 234A?xA?xA?xA?xAD1525354555x3x4~D?a2a3a4其中x3的系数为A45?(?1)4?5D??D，再利用范德蒙型行列式的结果得
~D?(b?a)(c?a)(d?a)(x?a)(c?b)(d?b)(x?b)(d?c)(x?c)(x?d)= (b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)[x4?(a?b?c?d)x3??] 其中x3的系数为?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)(a?b?c?d) 故可得D?(b?a)(c?a)(d?a)(c?b)(d?b)(d?c)(a?b?c?d)。
1?x11?x12?1?x1nn1?x21?x2?1?x2???2n1?xn1?xn?1?xn例15： 证明?1?j?k?n?(xk?xj)[2?xi??(xi?1)]
i?1i?1nn证：记左端行列式为Dn，则
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