选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (2)方法一 函数y=x+
4x是定义域为{x|x≠0}上的奇函数,故其图象关于原点对称,故只讨论
x＞0时,即可知x＜0时的最值.? ∴当x＞0时,y=x+
4x≥2
x?4x=4，等号当且仅当x=2时取得.当x＜0时，y≤-4,?
[来源:Z_xx_k.Com]
等号当且仅当x=-2时取得.综上函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最值.? 方法二 任取x1,x2,且x1＜x2,? 因为f(x1)-f(x2)=x1+
4x1-(x2+
4x2)=
(x1?x2)(x1x2?4)x1x2,?
所以当x≤-2或x≥2时，f(x)递增,当-2＜x＜0或0＜x＜2时，f(x)递减.? 故x=-2时，f(x)最大值=f(-2)=-4,x=2时，f(x)最小值=f(2)=4,?
所以所求函数的值域为（-∞，-4］∪［4，+∞），无最大（小）值.? （3）将函数式变形为?y=
(x?0)?(0?1)?22(x?2)?(0?2)22,?
可视为动点M（x,0）与定点A（0，1）、B（2，-2）距离之和，连结AB，则直线AB与x轴的交点（横坐标）即为所求的最小值点.? ymin=|AB|=
(0?2)?(1?2)?2213，可求得x=时，ymin=
3213.?
显然无最大值.故值域为［
13，+∞）.?
变式训练3：在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf（x）=f（x+1）-f（x）.某公司每月最多生产100台报警系
2
统装置，生产x（x＞0）台的收入函数为R（x）=3 000x-20x (单位：元)，其成本函数为C（x）=500x+4 000（单位：元），利润是收入与成本之差.?
（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；?
（2）利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）是否具有相同的最大值？?
解：（1）P（x）=R（x）-C（x）=（3 000x-20x）-（500x+4 000）=-20x+2 500x-4 000
（x∈［1，100］且x∈N,）
MP（x）=P（x+1）-P（x）=-20（x+1）2+2 500（x+1）-4 000-（-20x2+2 500x-4 000） =2 480-40x （x∈［1，100］且x∈N）.? （2）P（x）=-20(x-1252)2
2
2
+74 125，当x=62或63时，P(x)max=74 120（元）.?
因为MP（x）=2 480-40x是减函数，所以当x=1时，MP(x)max=2 440(元）.? 因此，利润函数P（x）与边际利润函数MP（x）不具有相同的最大值.? 例4．（20092广西河池模拟）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f(x)满足f(（1）求f(1)的值；? （2）判断f(x）的单调性；?
（3）若f(3)=-1,解不等式f(|x|)＜-2.?
解：（1）令x1=x2＞0,代入得f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故f(1)=0.?
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x1x2)=f(x1)-f(x2)，且当
x＞1时，f(x)＜0.
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 （2）任取x1,x2∈(0,+∞)，且x1＞x2,则所以f(x1x2)＜0,即
x1x2＞1,由于当x＞1时，f(x)＜0,?
f(x1)-f(x2)＜0,因此f(x1)＜f(x2),?
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.? （3）由f(
x1x2)=f(x1)-f(x2)得f(
93)=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.?
由于函数f(x)在区间（0,+∞）上是单调递减函数，?
由f(|x|)＜f(9),得|x|＞9,∴x＞9或x＜-9.因此不等式的解集为{x|x＞9或x＜-9}.
变式训练4：函数f(x)对任意的a、b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当x＞0时，f(x)＞1.? （1）求证：f(x)是R上的增函数；? （2）若f(4)=5,解不等式f(3m2-m-2)＜3.? 解：（1）设x1,x2∈R，且x1＜x2,?
则x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＞1.
f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1＞0. ∴f（x2）＞f(x1).? 即f(x)是R上的增函数.
（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）-1=5，?
∴f（2）=3，
∴原不等式可化为f(3m2-m-2)＜f(2),? ∵f(x)是R上的增函数，∴3m2-m-2＜2, 解得-1＜m＜,故解集为（-1,）.
3344
小结归纳 1．证明一个函数在区间D上是增(减)函数的方法有：(1) 定义法.其过程是：作差——变形——判断符号，而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构；(2) 求导法.其过程是：求导——判断导函数的符号——下结论. 2．确定函数单调区间的常用方法有：(1)观察法；(2)图象法（即通过画出函数图象，观察图象，确定单调区间）；(3)定义法；(4)求导法.注意：单调区间一定要在定义域内.
3．含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的范围判定其单调性；一类是给定单调性求参数范围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值范围.
第4课时 函数的奇偶性
基础过关
1．奇偶性：
① 定义：如果对于函数f (x)定义域内的任意x都有 ，则称f (x)为奇函数；若 ，则称f (x)为偶函数. 如果函数f (x)不具有上述性质，则f (x)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则f (x) .
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ② 简单性质：
1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.
2） 函数f(x)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称. 2．与函数周期有关的结论：
a?0）①已知条件中如果出现f(x?a)??f(x)、或f(x?a)f(x)?m（a、，都可以得出f(x)m均为非零常数，
的周期为 ；
②y?f(x)的图象关于点(a,0),(b,0)中心对称或y?f(x)的图象关于直线x?a,x?b轴对称，均可以得到
f(x)周期 典型例题
例1. 判断下列函数的奇偶性.? （1）f(x)=
x?1?1?x22;?
(2)f(x)=log2(x+
x?12) (x∈R);?
(3)f(x)=lg|x-2|.?
解：（1）∵x2-1≥0且1-x2≥0,∴x=±1,即f(x)的定义域是{-1，1}.? ∵f（1）=0，f(-1)=0,∴f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1),? 故f(x)既是奇函数又是偶函数.? （2）方法一 易知f(x)的定义域为R，? 又∵f(-x)=log2［-x+∴f(x)是奇函数.?
方法二 易知f(x)的定义域为R，? 又∵f（-x）+f（x）=log2［-x+∴f(x)为奇函数.?
（3）由|x-2|＞0，得x≠2.?
∴f（x）的定义域{x|x≠2}关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数.? 变式训练1：判断下列各函数的奇偶性：? （1）f（x）=（x-2）（2）f（x）=
lg(1?x)|x?2|?222(?x)?12］=log2
x?1x?12=-log2(x+
x?12)=-f(x),?
(?x)?12］+log2(x+
x?12)=log21=0,即f(-x)=-f(x),?
2?x2?x；?
；?
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ?x?2（3）f（x）=??0??x?2?(x??1),(|x|?1),(x?1）.
解：（1）由
2?x2?x2≥0，得定义域为［-2，2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数.?
?1?x?0，（2）由?2得定义域为（-1，0）∪（0，1）.?
?|x?2|?2?0.这时f（x）=∵f（-x）=-
lg(1?x)?(x?2)?2222??lg(1?x)x22.?
∴f（x）为偶函数.?
lg?1?(?x)(?x)2???lg(1?x)x22?f(x),（3）x＜-1时，f（x）=x+2，-x＞1,∴f（-x）=-（-x）+2=x+2=f（x）.? x＞1时，f（x）=-x+2，-x＜-1，f(-x)=x+2=f(x).? -1≤x≤1时，f（x）=0，-1≤-x≤1,f（-x）=0=f（x）.?
∴对定义域内的每个x都有f（-x）=f（x）.因此f（x）是偶函数.? 例2 已知函数f(x),当x,y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).? （1）求证：f(x)是奇函数；?
（2）如果x∈R+，f（x）＜0,并且f(1)=-,试求f(x)在区间［-2，6］上的最值.?
21（1）证明： ∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.? ∵f（x+y）=f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,? ∴f(0)=f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),? ∴f(x)为奇函数.?
（2）解：方法一 设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），? ∴f（x+y）-f（x）=f（y）.?∵x∈R，f（x）＜0,? ∴f(x+y)-f(x)＜0,?∴f(x+y)＜f(x).?
∵x+y＞x,?∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，? ∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.? ∵f(1)=-,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.?
21+
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.? 方法二 设x1＜x2,且x1,x2∈R.?
则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).?
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.? ∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，?
21∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.? ∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.?
变式训练2：已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 解：∵f（x）是奇函数，可得f(0)=-f(0),∴f(0)=0.?
当x＞0时，-x＜0,由已知f(-x)=xlg(2+x),∴-f（x）=xlg（2+x），? 即f（x）=-xlg(2+x) （x＞0）.∴f(x)=?即f(x)=-xlg(2+|x|) (x∈R).
例3 已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x+2)=-f(x)?.? （1）求证：f(x)是周期函数；?
（2）若f(x)为奇函数，且当0≤x≤1时，f(x)=x,求使f(x)=-在［0，2 009］上的所有x的个数.?
2211??xlg(2?x)??xlg(2?x)(x?0),(x?0).
（1）证明： ∵f（x+2）=-f（x），? ∴f（x+4）=-f（x+2）=-［-f（x）］=f（x）， ∴f（x）是以4为周期的周期函数. （2）解： 当0≤x≤1时，f(x)=x,?
21设-1≤x≤0,则0≤-x≤1,∴f（-x）=（-x）=-x.?
2211∵f(x)是奇函数，∴f（-x）=-f（x）,? ∴-f（x）=-x，即f(x)= x.
2211故f(x)= x(-1≤x≤1)
21又设1＜x＜3,则-1＜x-2＜1,? ∴f(x-2)=(x-2),
21又∵f（x-2）=-f（2-x）=-f（（-x）+2）=-［-f（-x）］=-f（x），? ∴-f（x）=（x-2），?
21∴f（x）=-（x-2）（1＜x＜3）.
21?1x??2∴f（x）=???1(x?2)??21(?1?x?1)
(1?x?3)由f(x)=-,解得x=-1.?
2∵f（x）是以4为周期的周期函数.?故f(x)=-的所有x=4n-1 (n∈Z).
21令0≤4n-1≤2 009,则≤n≤
4110052,?
又∵n∈Z，∴1≤n≤502 （n∈Z）,?
∴在［0，2 009］上共有502个x使f(x)=-.
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