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bN＝a，a＝N，logaN＝b(其中N>0，a>0，a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟
b
练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底.
2．处理指数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.
3．含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
第6课时 对数函数
基础过关 1．对数： (1) 定义：如果ab数.
① 以10为底的对数称为常用对数，log10② 以无理数e(e?2.71828(2) 基本性质：
01① 真数N为 (负数和零无对数)；② loga1? ；③ logaa? ；
[来源:Zxxk.Com]
?N(a?0,且a?1)，那么称 为 ，记作 ，其中a称为对数的底，N称为真
N记作___________．
?)为底的对数称为自然对数，logeN记作_________．
④ 对数恒等式：alogaN? ． N(3) 运算性质：
① loga(MN)＝___________________________； ② logaMN＝____________________________；
③ logaMn＝ (n∈R).
④ 换底公式：logaN＝ (a>0，a≠1，m>0，m≠1，N>0)
nnlog?bmba⑤ a .m
2．对数函数：
① 定义：函数 称为对数函数，1) 函数的定义域为( ；2) 函数的值域为 ；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；
y?a(a?0,且a?1)互为反函数. 4) 函数y?logax与函数
x② 1) 图象经过点( )，图象在 ；2) 对数函数以 为渐近线(当0?a?1时，图象向上无限接近y轴；当a?1时，图象向下无限接近y轴)；
4) 函数y＝logax与 的图象关于x轴对称．
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ③ 函数值的变化特征：
0?a?1 a?1 ① x?1时 ② x?1时 ③ 0?典型例题 x?1时① x?1时 ② x?1时 x?1时 ③ 0?
例1 计算：（1）log（2）2(lg（3）lg
212?3(2?3)
(lg2)?lg2?1223249)2+lg-lg
3422lg5++lg
245;?
8.??
解：（1）方法一 利用对数定义求值? 设log2?3(2?3)=x,?则(2+
3)=2-
x
3=
12?3=（2+
3）,∴x=-1.?
-1
方法二 利用对数的运算性质求解?
log2?3(2?3)=log22?3
12?3=log22?3(2+
(lg3)=-1.?
2)?2lg2-1
（2）原式=lg=lg
2（2lg+lg5）+
2?1=lg
2(lg2+lg5)+|lg
2-1|?
+(1-lg
122)=1.?
4312（3）原式=（lg32-lg49）-lg8+lg245?
21= (5lg2-2lg7)-3
2351432lg2+ (2lg7+lg5)?
2111=lg2-lg7-2lg2+lg7+lg5=lg2+lg5?
22221=lg(235)= lg10=.??
222111变式训练1：化简求值.? （1）log2
748+log212-log242-1;?
21（2）(lg2)2+lg22lg50+lg25;? （3）(log32+log92)2(log43+log83).? 解：(1)原式=log2
748+log212-log2
42-log22=log2
7?1248?42?2?log2122?log22?32??32.?
（2）原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.? （3）原式=(
lg2lg3?lg22lg3)·(lg32lg2?lg33lg2)?3lg25lg35·?. 2lg36lg24例2 比较下列各组数的大小.?
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 （1）log32与log56;?（2）log1.10.7与log1.20.7;?
35（3）已知logb＜loga＜logc,比较2,2,2的大小关系.?
111222bac
解：（1）∵log32＜log31=0,?而log56＞log51=0,∴log32＜log56.?
3535(2)方法一 ∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2,?∴0＞log∴
1log0.71.1?1log0.71.20.71.1?log0.71.2,?
,?
即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.? 方法二 作出y=log1.1x与y=log1.2x的图象.?
如图所示两图象与x=0.7相交可知log1.10.7＜log1.20.7.? (3)∵y=log1x为减函数，且log212b?log1a?log1c22,?
∴b＞a＞c,而y=2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.? 变式训练2：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga1,logbab,log1bb的大小关系是 （ ）
1aA.logaC.log1b?logab?log1b1bb1
B.logab?log1b1?log1bb
ab?logb?logab D.logbb?logab?logab解： C
例3已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，
试求a的取值范围.?
解：当a＞1时，对于任意x∈［3，+∞），都有f(x)＞0.? 所以，|f(x)|=f(x),而f(x)=logax在［3，+∞）上为增函数， ∴对于任意x∈［3，+∞），有f(x)≥loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立.? 只要loga3≥1=logaa即可，∴1＜a≤3.
当0＜a＜1时，对于x∈［3，+∞），有f(x)＜0,? ∴|f(x)|=-f(x).
∵f（x）=logax在［3，+∞）上为减函数，? ∴-f（x）在［3，+∞）上为增函数.? ∴对于任意x∈［3，+∞）都有? |f(x)|=-f(x)≥-loga3.
因此，要使|f(x)|≥1对于任意x∈［3，+∞）都成立，? 只要-loga3≥1成立即可，? ∴loga3≤-1=loga
1a,即
1a≤3,∴≤a＜1.?
31选校网 www.xuanxiao.com 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 综上，使|f(x)|≥1对任意x∈［3，+∞）都成立的a的取值范围是：(1，3］∪［，1）.
31变式训练3：已知函数f（x）=log2(x2-ax-a)在区间（-∞,?1-解：令g(x)=x2-ax-a, 则g(x)=（x-a23］上是单调递减函数.求实数a的取值范围.?
）-a-
2
a24,?由以上知g(x）的图象关于直线x=
a2对称且此抛物线开口向上.?
因为函数f(x)=log2g(x)的底数2＞1,? 在区间（-∞,1-2
3］上是减函数，?
3所以g(x)=x-ax-a在区间（-∞,1-a???1?3??a?2?232，即?∴?2??g(1?3)?0?(1?3)?a(1??］上也是单调减函数，且g(x)＞0.?
3)?a?0解得2-2
3≤a＜2.?
3故a的取值范围是{a|2-2≤a＜2}.
例4 已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行与函数y=log2x的图象交于C
D两点.?
（1）证明:点C、D和原点O在同一直线上；? （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.? （1）证明 设点A、B的横坐标分别为x1、x2,?
由题设知x1＞1,x2＞1,则点A、B的纵坐标分别为log8x1、log8x2.? 因为A、B在过点O的直线上，所以
log8x1x1?log8x2x2
点C、D的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2),? 由于log2x1=
log8x1log82=3log8x1,log2x2=3log8x2,?
?3log8x1x1OC的斜率为k1=OD的斜率为k2?log2x1x1log2x2x2,?
,由此可知
?3log8x2x2k1=k2,即O、C、D在同一直线上.?
1（2）解： 由于BC平行于x轴，知log2x1=log8x2，即得log2x1=log2x2,x2=x31,?
3代入x2log8x1=x1log8x2，得x31log8x1=3x1log8x1,由于x1＞1,知log8x1≠0,故x31=3x1,? 又因x1＞1,解得x1=
3,于是点A的坐标为（
x?1x?13，log8
3).
变式训练4：已知函数f(x)=log2+log2(x-1)+log2(p-x).?
（1）求f(x)的定义域；? （2）求f(x)的值域.?
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ?x?1?0?x?1?解：（1）f(x)有意义时，有??x?1?0?p?x?0???①,②,③,?
由①、②得x＞1,由③得x＜p,因为函数的定义域为非空数集，故p＞1,f(x)的定义域是(1,p). （2）f(x)=log2［(x+1)(p-x)］? =log2［-（x-①当1＜0＜-(x-p?12p?12p?12）+
2
(p?1)42］ (1＜x＜p),?
＜p，即p＞3时，?
2)?(p?1)422?(p?1)422,?
∴log2???(x??p?12(p?1)?)??4?≤2log2(p+1)-2.?
②当
p?12≤1，即1＜p≤3时，?
p?12)?2∵0＜-(x-∴log2
(p?1)42?2(p?1),2
p?12(p?1)??)???(x??24??＜1+log2(p-1).?
综合①②可知：?
当p＞3时，f(x)的值域是（-∞,2log2(p+1)-2］;? 当1＜p≤3时，函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)). 小结归纳
1．处理对数函数的有关问题，要紧密联系函数图象，运用数形结合的思想进行求解.
2．对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识，要达到熟练、运用自如的水平，使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.
3．含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类. 4．含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现，与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要注意知识的相互渗透或综合.
第7课时 函数的图象
基础过关 一、基本函数图象特征（作出草图） 1．一次函数为 ； 2．二次函数为 ；
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