选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 变式训练3：已知函数f(x)=x+|x-a|+1,a∈R.? （1）试判断f(x)的奇偶性；? （2）若-≤a≤，求f(x)的最小值.
22112
解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x),?
[来源:学。科。网]
此时,f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,? f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时，f(x) 为非奇非偶函数.? （2）当x≤a时,f(x)=x-x+a+1=(x-)+a+
212
12
34,?
∵a≤,故函数f(x)在（-∞，a］上单调递减，?
2从而函数f(x)在（-∞，a］上的最小值为f(a)=a2+1.? 当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+,?
2413∵a≥-，故函数f(x)在［a，+∞）上单调递增，从而函数f(x)在［a，+∞)上的
21最小值为f(a)=a2+1.?
综上得，当-≤a≤时，函数f(x)的最小值为a2+1.
2211 小结归纳 1．奇偶性是某些函数具有的一种重要性质，对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域内找到一对非零实数a与－a，验证f(a)±f(－a)≠0.
2．对于具有奇偶性的函数的性质的研究，我们可以重点研究y轴一侧的性质，再根据其对称性得到整个定义域上的性质.
3．函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.
第5课时 指数函数
基础过关 1．根式：
n(1) 定义：若x?a，则x称为a的n次方根
① 当n为奇数时，a的n次方根记作__________；
② 当n为偶数时，负数a没有n次方根，而正数a有两个n次方根且互为相反数，记作________(a>0). (2) 性质： ①
(a)?ann；
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 ② 当n为奇数时，nan③ 当n为偶数时，nan2．指数： (1) 规定：
0
?a；
a(a?0)?_______＝ ????a(a?0)
① a＝ (a≠0)； ② a-p＝ ；
m③ an? a ( a ?0, mnm .
(2) 运算性质： ① ② ③
a?a? a rsrsr?s ( a ? 0 , (a>0, r、s?Q)
(a)? a rr?s(a ? 0 , (a>0, r、s?Q)
rr(a?b)? a ?b?0,r、s? ( a ? 0 , b(a>0, rQ)
注：上述性质对r、s?R均适用. 3．指数函数：
① 定义：函数 称为指数函数，1) 函数的定义域为 ；2) 函数的值域为 ；3) 当________时函数为减函数，当_______时为增函数. ② 函数图像：
1) 过点 ，图象在 ；2) 指数函数以 为渐近线(当0?a?1时，图象向 无限接近x轴，当a?1时，图象向 无限接近x轴)；3)函数y?a③ 函数值的变化特征：
0?a?1 x与y?a?x的图象关于 对称.
a?1 ① x?0时 ① x?0时 ② x?0时 ③ x?0时 ② x?0时 ③ x?0时 典型例题 13733
例1. 已知a=,b=9.求： （1）
97a2a?3?a?8?a15; （2）
?1a?1?b?1(ab)?1.
解：（1）原式=a12?13.a31??23÷［a
(?83)?122a151?32］?= a76?12?(?43?52)=a.?
2∵a=，∴原式=3.?
9（2）方法一 化去负指数后解.?
[来源:Z*xx*k.Com]
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a?1?b?1(ab)?1?a?1ab1b?a?bab1ab?a?b.∵a=
19,b?9,∴a+b=
829.
方法二 利用运算性质解.?
a?1?b?1(ab)?1?a?1?1ab?1?b?1?1ab?1?8291b?1?1a?1?b?a.
∵a=
19,b?9,∴a+b=.
变式训练1：化简下列各式（其中各字母均为正数）:
2（1）
(a?b)36?1?12121?a?b35a?b?2;
（2）a?b?(?3ab)?(4a?b).
3232561?1?12?31解：（1）原式=
ab?ab332215?1111?a111???3261?b215??36?a?b?1.
00a6b6（2）原式=-2
52a6b?1?31?(2a3·b2)???354a6b?1?31?(a3b2)???354a?12?b?32??x
54?1abx
3??5ab4ab2.
例2. 函数f(x)=x-bx+c满足f(1+x)=f(1-x)且f(0)=3,则f(b)与f(c)的大小关系是 （ ）
A.f(bx)≤f(cx)? B.f(bx)≥f(cx)
C.f(b)＞f(c) D.大小关系随x的不同而不同 解：A
变式训练2：已知实数a、b满足等式(11ba)?()23x
x
，下列五个关系式：?①0＜b＜a;②a＜b＜0;③0＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.?
其中不可能成立的关系式有 （ ）
A.1个 ? B.2个 ?C.3个 ?D.4个? 解：B??
例3. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间：? （1）f(x)=3
x?5x?42;?（2）g(x)=-(
11xx)?4()?542.
解：（1）依题意x2-5x+4≥0,?解得x≥4或x≤1,? ∴f（x）的定义域是（-∞，1］∪［4，+∞）.? 令u=
x?5x?4?2(x?52)?294,∵x∈（-∞，1］∪［4，+∞），?
x?5x?42∴u≥0，即
x?5x?42≥0，而f(x)=3≥30=1,?
∴函数f(x)的值域是［1，+∞）.? ∵u=
(x?52)?294,∴当x∈（-∞，1］时，u是减函数，?
当x∈［4，+∞）时，u是增函数.而3＞1,∴由复合函数的单调性可知，?
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 f（x）=3
x2?5x?4在（-∞，1］上是减函数，在［4，+∞）上是增函数.?
故f（x）的增区间是［4，+∞），减区间是（-∞，1］.? （2）由g(x)=-(
1)x?4(1)x?5??(12x1x2)?4()2?5,42?
∴函数的定义域为R，令t=(
12
2
2)x
(t＞0),∴g(t)=-t+4t+5=-(t-2)+9,?
∵t＞0,∴g(t)=-(t-2)2
+9≤9,等号成立的条件是t=2,? 即g(x)≤9,等号成立的条件是(
1x2)=2，即x=-1，∴g（x）的值域是（-∞，9］.?
由g(t)=-(t-2)2
+9 (t＞0),而t=(12)x是减函数，∴要求g(x)的增区间实际上是求g(t)的减区间，?求实际上是求g(t)的增区间.?
∵g（t）在（0，2］上递增，在［2，+∞）上递减，? 由0＜t=(
1x1x2)≤2,可得x≥-1,?由t=(
2)≥2,可得x≤-1.?
∴g（x）在［-1，+∞）上递减，在（-∞，-1］上递增，?
故g(x)的单调递增区间是（-∞，-1］，单调递减区间是［-1，+∞）.? 变式训练3：求下列函数的单调递增区间：?（1）y=(16?x?2x22);(2)y=2
x2?x?6.?
解：（1）函数的定义域为R.? 令u=6+x-2x2,则y=(
12)u.?
∵二次函数u=6+x-2x2
的对称轴为x=14,?
在区间［1，+∞）上，u=6+x-2x2
4是减函数，?
又函数y=(12)u
是减函数，?
∴函数y=(112)6?x?2x2在［4，+∞）上是增函数.?
故y=(
16?x?2x22)单调递增区间为［14，+∞）.?
（2）令u=x2-x-6,则y=2u,?
∵二次函数u=x2-x-6的对称轴是x=12,
在区间［12，+∞）上u=x2-x-6是增函数.?
又函数y=2u
为增函数，? ∴函数y=2x2?x?6在区间［12，+∞）上是增函数.?
故函数y=2
x2?x?6的单调递增区间是［12，+∞）.
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g(x)的减区间
选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 例4．设a＞0,f(x)=（1）求a的值；?
exa?aex是R上的偶函数.?
（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.?
（1）解： ∵f（x）是R上的偶函数，∴f（-x）=f（x），?∴∴（a-∴a-1a1a)(e?xe?xa?ae?x?exa?aex,
1ex)=0对一切x均成立，?
=0，而a＞0,∴a=1.
（2）证明 在（0，+∞)上任取x1、x2，且x1＜x2, 则f(x1)-f(x2)=e +
x11ex1-e-x21ex2
=(ex2?e) (
x11ex1?x2?1).
21∵x1＜x2,∴ex1?e,有ex?ex?0.??
x2x1?x2∵x1＞0,x2＞0,∴x1+x2＞0,∴e1ex1?x2＞1,
-1＜0.∴f(x1)-f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2),
故f(x)在（0,+∞）上是增函数.
变式训练4：已知定义在R上的奇函数f(x)有最小正周期2，且当x∈(0,1)时，f(x)=（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；? （2）证明：f(x)在（0，1）上是减函数.? （1）解： 当x∈(-1,0)时，-x∈(0,1).? ∵f（x）是奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-24?x?x2
x
x
4?1
.
?1??2xx4?1.
由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),?
?2?x4?1?x2?f（x）=??x?4?1?0??xx?(0,1)x?(?1,0)x???1,0,1?得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在区间［-1，1］上，有?
(2)证明 当x∈(0,1)时，f(x)=设0＜x1＜x2＜1,? 则f(x1)-f(x2)=
2x1x12xx4?1.
4?1x2??2x2x24?1x1?(2?2)(2x1x2x1x1?x2?1)(4?1)(4?1)x1?x2x2,
∵0＜x1＜x2＜1,∴22＞0，2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),?
故f(x)在（0，1）上单调递减.
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