选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 （3）∵y?x?1在(0,??)上是减函数，
5.25?5.26，∴5.25?1?5.26?1；
∵y?5.26x是增函数，?1??2， ∴5.26?1?5.26?2；
综上，5.25?1?5.26?1?5.26?2
（4）∵0?0.53?1，30.5?1，log30.5?0， ∴log30.5?0.53?30.5
变式训练2：将下列各组数用小于号从小到大排列：
23232（1）2.5,(?1.4),(?3)3 （2）0.162??34,0.521?323,6.258 5?111（3）()3,()2,()3,33,()3
35322323232解：（1）(?1.4)?2.5?(?3)3
3（2）6.25?0.58?32?0.16?()32?34, 3231（3）()?()532215?132?13?()?33
2例3已知幂函数y?xm?2m?3（m?Z）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．
分析：幂函数图象与x轴、y轴都无交点，则指数小于或等于零；图象关于原点对称，则函数为奇函数．结合m?Z，便可逐步确定m的值． 解：∵幂函数y?xm?2m?32（m?Z）的图象与x轴、y轴都无交点，
2∴m?2m?3?0，∴?1?m?3；
2∵m?Z，∴(m?2m?3)?Z，又函数图象关于原点对称，
2∴m?2m?3是奇数，∴m?0或m?2．
1变式训练3：证明幂函数f(x)?x2在[0,??)上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明．
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 证明：设0?x1?x2，
1[来源:Z&xx&k.Com]
1则f(x1)?f(x2)?x12?x22?x1?x2?x1?x2x1?x2 ?x1?x2 ?x1?x2?0 ?x1?x2?0
?f(x1)?f(x2)?0 即f(x1)?f(x2)
?此函数在[0,??)上是增函数
小结归纳
1．注意幂函数与指数函数的区别． 2.幂函数的性质要熟练掌握
第9课时 函数与方程
基础过关 1．一元二次函数与一元二次方程
一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x轴的交点的横坐标． 2．函数与方程
两个函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标就是方程f(x)?g(x)的解；反之，要求方程f(x)?g(x)的解，也只要求函数y?f(x)与y?g(x)图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解
二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(m,n)，则必有f(m)?f(n)?0，再取区间的中点p?m?n2，
再判断f(p)?f(m)的正负号，若f(p)?f(m)?0，则根在区间(m,p)中；若f(p)?f(m)?0，则根在(p,n)中；若
f(p)?0，则p即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要
求），即可得一个近似值． 典型例题
例1.（1）若f(x)?x?1x，则方程f(4x)?x的根是( )
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 A．
12 B．－
12 C．2 D．－2
解：A．
（2）设函数f(x)对x?R都满足f(3?x)?f(3?x),且方程f(x)?0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）
A．0 B．9 C．12 D．18
解：由f(3?x)?f(3?x)知f(x)的图象有对称轴x?3，方程f(x)?0的6个根在x 轴上对应的点关于直线x?3对称，依次设为3?t1,3?t2,3?t3,3?t1,3?t2,3?t3，故6个根的和为18，答案为D．
（3）已知
5b?c5a（a?1，、b、c∈R），则有（ ）
A．b2?4ac B．b2?4ac C．b2?4ac D．b2?4ac 解法一：：依题设有 a?5?b?5?c?0
∴5是实系数一元二次方程ax2?bx?c?0的一个实根； ∴△＝b2?4ac≥0 ∴b2?4ac，答案为B．
解法二：去分母，移项，两边平方得：5b2?25a2?10ac?c2?10ac＋2?5a?c＝20ac． ∴b2?4ac，答案为B．
（4）关于x的方程 x2?(2m?8)x?m2?16?0的两个实根 x、x 满足 x1?1232?x2，则实数
m的取值范围 22解：设f(x)?x?(2m?8)x?m?16，则f()?32916?3(m?4)?m?16?0，
2即：4m2?12m?7?0，解得：?12?m?72．
（5）若对于任意a?[?1,1]，函数f(x)?x2?(a?4)x?4?2a的值恒大于零, 则x的取值范围是 解：设g(a)?(x?2)a?x2?4x?4，显然，x?2
2??x?3或x?2?g(?1)?2?x?x?4x?4?0则?，即?，解得：x>3或x<1． 2x?2或x?1???g(1)?x?2?x?4x?4?0变式训练1： 当0?x?1时，函数y?ax?a?1的值有正值也有负值，则实数a的取值范围是（ ）
A．a?解：D
log1x?2?x例2.设x1,x2,x3依次是方程,log2(x?2)?212 B．a?1 C．a?12或a?1 D．
12?a?1
?x，
x2?x?2的实数根，试比较x1,x2,x3的大小 ．
y?log1xx解：在同一坐标内作出函数y?x?2，，y??2的图象
2从图中可以看出，0?x3?x1 又x2?0，故x2?x3?x1
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选校网 www.xuanxiao.com 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 变式训练2：已知函数y?f(x)(x?R)满足f(x?3)?f(x?1)，且x∈[－1,1]时，f(x)?|x|，则y?f(x)与y?log5x的图象交点的个数是( ) A．3 B．4 C．5
D．6
f(x)是周期为2的函
解：由f(x?3)?f(x?1)知f(x?2)?f(x)故
数，在同一坐标系中作出y?f(x)与y?log5x的图象，4．
可以看出，交点个数为
例3. 已知二次函数f(x)?ax2?bx(a,b为常数，且a?0) 满足条件：f(x?1)?f(3?x)，且方程f(x)?2x有等根.
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在实数m、n(m?n)，使f(x)定义域和值域分别为［m，n］和［4m，4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.
2解：（1）∵方程ax2?bx?2x有等根，∴??(b?2)?0，得b=2 ．
由f(x?1)?f(3?x)知此函数图象的对称轴方程为x??2故f(x)??x?2x ．
2（2）f(x)??(x?1)?1?1，∴4n?1，即n?b2a?1，得a??1，
14
142而抛物线y??x?2x的对称轴为x?1 ∴n?时，f(x)在［m，n］上为增函数.
?f(m)?4m若满足题设条件的m，n存在，则?，
f(n)?4n?2??m?0或m??2??m?2m?4m即??? 2n?0或n??2????n?2n?4n又m?n?14， ∴m??2,n?0，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］.
由以上知满足条件的m、n存在， m??2,n?0． 变式训练3：已知函数f(x)?1a?1x ((a?0,x?0).
（1）求证：f(x)在(0,+∞)上是增函数；
（2）若f(x)?2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；
（3）若f(x)在［m，n］上的值域是［m，n］(m≠n)，求a的取值范围. 解：（1）证明 任取x1?x2?0
f(x1)?f(x2)?(1a?1x1)?(1a?1x2)?1x2?1x1?x1?x2x1x2
∵x1?x2?0，∴x1?x2?0，x1?x2?0，
∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数. （2）解： ∵
1a?1x?2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0,
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a?12x?1在（0，+∞）上恒成立， x令
g(x)?12x?1x?122x?1x?24，当且仅当2x?1x(x?0)即x=
22时取等号
要使
a?12x?1x在(0,+∞)上恒成立，则a?2424 故a的取值范围是［,+∞)．
（3）解： 由（1）f(x)在定义域上是增函数. ∴m?f(m),n?f(n)，即m2?故方程x2?1a1am?1?0，n?21an?1?0
1a?0
x?1?0有两个不相等的正根m，n，注意到m?n?1，m?n?112故只需要(??()2?4?0,由于a?0，则0?a?a ．
例4．若函数f(x)?2?|x?1|?m的图象与x轴有交点，则实数m的取值范围是（ ） A．0?m?1 B．0?m?1 C．m?1或m?0 D．m?1或m?0 解：令f(x)?0，得：m?()|21x?1|，∵ |x?1|?0，∴ 0?()|21x?1|?1，即0?m?1．
变式训练4：对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点. 已知函数
f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)
2（1）当a?1,b??2时，求f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
2解：（1）当a?1,b??2时，f(x)?x?x?3
由题意可知x?x2?x?3，得x1??1,x2?3 故当当a?1,b??2时，f(x)的不动点 ?1,3．
2（2）∵f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)恒有两个不动点，
2∴x?ax?(b?1)x?b?1，
即ax2?bx?b?1?0恒有两相异实根
2∴??b?4ab?4a?0(b?R)恒成立.
2于是???(4a)?16a?0解得
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