于任意给定的正数对应的函数值
，总存在正数?，使得当x满足不等式0?x?x0??时，?（不论它多么小）
f(x)都满足不等式f(x)?A??，那么常数A就叫做函数f(x)当x?x0． limf(x)?A或f(x)?A（当x?x0）
x?x0时的极限，记作
说明：函数的左极限
x?x0lim?f(x)?A或f(x0?)?A；右极限limfx(?)A或
?x?x0f(x0?)?A；左极限与右极限统称单侧极限．函数f(x)当x?x0时极限存在的充要条件是左
右极限都存在并且相等，即（2）
f(x0?)?f(x0?)．
大于某一正数时有定义．如果存在常数
x??时函数的极限：设函数f(x)当xA，对于任
意给定的正数
，总存在正数X，使得当x满足不等式x?X时，对应的函数值?（不论它多么小）
f(x)都满足不等式f(x)?A??，那么常数A就叫做函数f(x)当x??时的极限，记作
． limf(x)?A或f(x)?A（当x??）
x??说明：此定义包含
x???limf(x)?A和limf(x)?A两种情况．
x???2．函数极限的性质（以
x?x0为例）
性质（1）：（函数极限的唯一性）如果
limf(x)存在，那么这极限唯一．
x?x0性质（2）：（函数极限的局部有界性）如果
limf(x)?A，那么存在常数M?0和??0，使
x?x0得当
0?x?x0??时，有f(x)?Mx?x0．
性质（3）：（函数极限的局部保号性）如果
，那么存在常limf(x)?A，且A?0（或A?0）
数
． ??0，使得当0?x?x0??时，有f(x)?0（或f(x)?0）
（三）极限运算法则 1．如果（1）（2）
limf(x)?A，limg(x)?B，则有
x?x0x?x0x?x0x?x0lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B；
x?x0lim[f(x)?g(x)]?limf(x)?limg(x)?A?B；
x?x0x?x0x?x0 6
f(x)Af(x)limx?x0??，其中B?0； （3）limx?x0g(x)limg(x)Bx?x0（4）
lim[cf(x)]?climf(x)，其中c为常数；
x?x0x?x0（5）
lim[f(x)]n?[limf(x)]n，其中n为正整数．
x?x0x?x02．设有数列（1）（2）
{xn}和{yn}，如果limxn?A，limyn?B，则有
n??n??lim(xn?yn)?A?B；
n??lim(xn?yn)?A?B；
n??（3）
limn??xnA?，其中yn?0（n?1,2,?）且B?0． ynBx?x0x?x03．如果
?(x)??(x)，而lim?(x)?A，lim?(x)?B，则A?B．
y?f[g(x)]是由函数u?g(x)与函数y?f(u)复合
x?x0u?u04．复合函数的极限运算法则：设函数而成，
f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义，若limg(x)?u0，limf(u)?A，且存
?在
?0?0，当x?U(x0,?0)时，有g(x)?u0，则limf[g(x)]?limf(u)?A．
x?x0u?u0说明：本法则以
x?x0为例，其他趋向下亦成立．
（四）极限存在准则
1．准则
I 如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件：
?n0?N，当n?n0时，有yn?xn?zn，
n??（1）从某项起，即（2）
limyn?A，limzn?A，
n??那么数列
{xn}的极限存在，且limxn?A．
n??准则
I? 如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件：
（1）当
x?U(x0,r)（或x?M?）时，
g(x)?f(x)?h(x)，
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（2）
x?x0(x??)limg(x)?A，limh(x)?A，
x?x0(x??)那么
x?x0(x??)limf(x)存在，且等于A．
说明：准则2．准则
I及准则I?称为夹逼准则．
II 单调有界数列必有极限．
准则II? 单调有界函数必有极限．（函数有界一般是指在某个邻域内有界）
（五）两个重要极限
1．
limsin?(x)sinx?1，式中不管自变量x是哪种趋向，只要在此趋?1，可引申为lim?(x)?0x?0?(x)x向下
?(x)?0即可（?(x)?0?或?(x)?0?时亦成立）．
lim(1?x)?e
x?01x2．或
1lim(1?)x?e，可引申为lim(1??(x))?(x)?0x??x?(x)??1?(x)?e（
?(x)?0?或?(x)?0?时亦成立）或lim(1?1?(x))?e（?(x)???或
?(x)?(x)???时亦成立）．
说明：数列亦有第二种极限形式，即必好好掌握． （六）无穷小和无穷大 1．定义
（1）无穷小的定义：如果函数为当
1lim(1?)n?e．两个重要极限是考试的必考内容，请大家务n??nf(x)当x?x0（或x??）时的极限为零，那么称函数f(x)x?x0（或x??）时的无穷小量（简称无穷小）．特别地，以零为极限的数列{xn}称为
{xn}当作特殊的函数来看待，故所谓的无穷小本质上就是函数，
n??时的无穷小．
说明：以后我们再提到无穷小时，把数列并且一定是在自变量
x的某一趋向下才有意义．
f(x)的绝对值无限增大，则称函数f(x)（2）无穷大的定义：如果在自变量的某一变化过程中，函数为自变量在此变化过程中的无穷大量（简称无穷大）．
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说明：在自变量的同一变化过程中，如果
f(x)为无穷大，则
1为无穷小；反之，如果f(x)为
f(x)无穷小且
f(x)?0，则
1为无穷大．
f(x)2．无穷小的比较
设
?，?均为自变量同一趋向下的无穷小，且??0，
??0，则称?是比?高阶的无穷小，记作??o(?)； （1）如果lim?（2）如果
lim???，则称?是比?低阶的无穷小； ???c?0，则称?与?是同阶无穷小； （3）如果lim?（4）如果
lim??1，则称?与?是等价无穷小，记作?~?； ???c?0，k?0，则称?是关于?的k阶无穷小． （5）如果limk?3．无穷小的性质
（1）有限个无穷小的和是无穷小． （2）常数与无穷小的乘积是无穷小． （3）有限个无穷小的乘积是无穷小． （4）有界函数与无穷小的乘积是无穷小．
（5）求两个无穷小之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷小来替换，即设
?，?，??，??均为
??????lim（lim自变量同一趋向下的无穷小，且?~??，?~??，lim存在，则lim?????表示自变量的任一趋向下的极限，以后文中出现此符号时均为此意，不再解释）． 说明：等价无穷小非常重要，故将常用的等价无穷小列举如下，请大家务必牢记．
x?0时sinx~x，可引申为?(x)?0时，sin?(x)~?(x)； x?0时tanx~x，可引申为?(x)?0时，tan?(x)~?(x)；
x?0时arcsinx~x，可引申为?(x)?0时，arcsin?(x)~?(x)；
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1212x?0时1?cosx~x，可引申为?(x)?0时，1?cos?(x)~?(x)；
22x?0时n1?x?1~11x，可引申为?(x)?0时，n1??(x)?1~?(x)； nnx?0时ex?1~x，可引申为?(x)?0时，e?(x)?1~?(x)；
x?0时ln(1?x)~x，可引申为?(x)?0时，ln(1??(x))~?(x)．
三、连续 （一）连续的概念 1．连续的定义
连续性定义（1）：设函数
f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
?x?0?x?0lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0，
则称函数
y?f(x)在点x0连续（即自变量的变化量趋于零时函数值的变化量也趋于零）．
连续性定义（2）：设函数
f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果limf(x)?f(x0)，则称函
x?x0数
y?f(x)在点x0连续．
2．左连续、右连续及区间连续 （1）左连续：
x?x0lim?f(x)存在且等于f(x0)，即f(x0?)?f(x0)；
x?x0（2）右连续：：
lim?f(x)存在且等于f(x0)，即f(x0?)?f(x0)；
f(x)在区间每一点都连续，则称f(x)为该区间上的连续函数，或者说函数
（3）区间连续：若函数
f(x)在该区间上连续．如果区间包括端点，则函数f(x)在右端点连续是指左连续，f(x)在左端
点连续是指右连续．
说明：一切初等函数在其定义区间内都是连续的． （二）函数的间断点
1．定义：设函数（1）在
f(x)在点x0的某去心邻域内有定义，如果函数有下列三种情形之一：
x?x0处没有定义；
x?x0处有定义，但limf(x)不存在；
x?x0（2）虽在
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