（3）虽在
x?x0处有定义，且limf(x)存在，但limf(x)?f(x0)，
x?x0x?x0则函数
f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点．
x2．分类：
（1）第一类间断点：如果0是函数那么
f(x)的间断点，但左极限f(x0?)和右极限f(x0?)都存在，
x0称为函数f(x)的第一类间断点．f(x0?)?f(x0?)时称x0为可去间断点，
f(x0?)?f(x0?)时称x0为跳跃间断点．
（2）第二类间断点：不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点．
（三）闭区间上连续函数的性质
1．有界性与最值定理：在闭区间2．零点定理：设函数
[a,b]上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．
与
f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)异号（即
f(a)?f(b?)）0，那么在开区间(a,b)内至少有一点?，使得f(?)?0．
3．介值定理：设函数
f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在这区间的端点取不同的函数值f(a)?A及
，使得
f(b)?B，那么对于A与B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少有一点?f(?)?C（a???b）．
【典型例题】
【例1-1】求复合函数．
1．设
f(x)?x，求f[f(x)]．
1?2x解：求
f[f(x)]就是用f(x)代替x然后化简，得
11
xxxf[f(x)]?1?2x??．
x1?2x?2x1?4x1?2?1?2x2．设
?x2,0?x?1x ，g(x)?e，求f[g(x)]． f(x)???3x,1?x?20?ex?1即x?0时，f[g(x)]?(ex)2?e2x， 1?ex?2即0?x?ln2时，f[g(x)]?3ex，
解：当
当
故
?e2x,x?0 ． f[g(x)]??x?3e,0?x?ln2【例1-2】求函数的定义域．
1．
f(x)?arcsin(2x?1)?ln(1?x)．
解：由
arcsin(2x?1)可得?1?2x?1?1，即0?x?1；由arcsin(2x?1)可得1arcsin(2x?1)?0，即0?2x?1?1，?x?1；由ln(1?x)可得1?x?0，
2即
1x?1，故原函数的定义域为三部分的交集，即[,1)．
2f(x)?x?1?arccos(2?x)．
2x?x?22．
解：由x?1可得x?1?0，即x?1；由x2?x?2?0即(x?1)(x?2)?0可得
x??1且x?2；由arccos(2?x)可得?1?2?x?1，1?x?3，故原函数的定义
域为三部分的交集，即为
[1,2)?(2,3]．
【例1-3】判断函数的奇偶性．
1．设（1）
f(x)和g(x)为任意函数，定义域均为(??,??)，试判定下列函数的奇偶性． f(x)?f(?x)?g(x)?g(?x)
f(x)?f(?x)与g(x)?g(?x)均为偶函数，故其和亦为偶函数．
12
解：由奇偶性的判定可知，
（2）
f(x)?f(?x)?g(x)?g(?x)
f(x)?f(?x)为奇函数，g(x)?g(?x)为偶函数，故其和为非奇
解：由奇偶性的判定可知，非偶函数． 2．判定函数解：因
f(x)?ln(x?x2?1)的奇偶性．
f(?x)?ln(?x?(?x)2?1)?ln(?x?x2?1)
1x2?1?x?ln??ln(x2?1?x)??f(x)，故原函数为奇函数．
【例1-4】计算下列极限．
12n?2???2)． 1．lim(n??n2nn解：当n??时，此题是无限个无穷小之和，不能直接求极限，先变形化简再计算：
1n(1?n)12n1?2???n12lim(2?2???2)?lim?lim?．
22n??nn??n??nnnn22．
lim(n??1n?1n22??，
1n?2122????1n?n12)．
n2解：因
n?nn?11????22n?2n?n（夹逼准则） ?1，故原极限值为1．
n?1，并且
limn??nn?n2?1limn??nn?123．
lim(1?n??22n?2)． nnn2n(2n?2)?2n?2n222n2n?2n2n?2解：lim(1??2)?lim(1?)?lim(1?)22n??n??n??nnnn2n?3n)． 4．lim(n??2n?1?e2．
n?1?4n?2n?3n?4n?42?42n?1)?lim(1?)?lim(1?)?e?2． 解：lim(n??2n?1n??n??2n?12n?1 13
【例1-5】计算下列极限．
sinx1．lim．
x??x解：当
x??时，
1为无穷小，sinx虽没有极限但却是有界函数，故根据无穷小与有界函数的乘xsinx?0． 积仍为无穷小，可得limx??x说明：本极限与
limxsinx?01意义是一样的． xx?x2???xn?n2．lim．
x?1x?1x?x2???xn?nx?1?x2?1???xn?1?lim解：lim
x?1x?1x?1x?1?lim[1?(x?1)?(x2?x?1)???(xn?1?xn?2???x?1)]
x?1n(n?1)?1?2?3???n?．
2说明：此题也可用洛必达法则（见第三章）求解，过程如下：
x?x2???xn?nn(n?1)lim?lim(1?2x???nxn?1)?． x?1x?1x?12sin(ex?1)3．lim．
x?03x解：因当
x?0时，sin(ex?1)~ex?1，ex?1~x，
sin(ex?1)ex?11?lim?． 故 limx?0x?03x3x3说明：本题可以使用洛必达法则求解如下：
sin(ex?1)cos(ex?1)?ex1lim?lim?． x?0x?03x33ex?esinx4．limx?0x?sinx
．
14
ex?esinxesinx(ex?sinx?1)?lim?1（x?0时，ex?sinx~x?sinx）解：lim．
x?0x?sinxx?0x?sinx5．
lim(x??3?x2x)．
2?x3?x2x12x1(2?x)?22?xx)?lim(1?)?lim(1?)?e2． 解：lim(x??2?xx??x??2?x2?x11x?cos)． 6．lim(sinx??xx解：
1111lim(sin?cos)x?lim[1?(sin?cos?1)]x??x??xxxx11sin?cos?1xxlim1x??x11cos?1x?limxlim1x??1x??xxsin1?lim2x2x??1x?111?x(sin?cos?1)11xxsin?cos?1xx1
?e?e?e?e1?0?e．
【例1-6】已知
f(x)?2x3f(x)?2f(x)是多项式，且lim?3，求f(x)． ，lim2x??x?0xxf(x)?2x3?2x2?ax?b，
x?0解：利用前一极限式可令
再利用后一极限式，得
3?limf(x)b?lim(a?)，则 a?3，b?0， x?0xx故
f(x)?2x3?2x2?3x．
【例1-7】当
x?0时，比较下列无穷小的阶．
1．
x2比1?cosx．
x2x2解：因 lim?lim?2，故x2与1?cosx是同阶无穷小．
x?01?cosxx?012x22．
x2比x?1?1．
15