x2x2解：因 lim?lim?0，故x2是比x?1?1高阶的无穷小．
x?0x?1?1x?01x23．1?x?1?x比x．
1?x?1?x(1?x?1?x)(1?x?1?x)解：因 lim ?limx?0x?0xx(1?x?1?x)2x?lim?1，故1?x?1?x与x是等价无穷小． x?0x(1?x?1?x)4．
x2比tanx?sinx．
x2x2cosxx2解：因 lim?lim?lim??，
x?0tanx?sinxx?0sinx(1?cosx)x?012x?x2 故
x2是比tanx?sinx低阶的无穷小．
说明：本题中的四个题目均可用洛必达法则求解． 【例1-8】讨论下列分段函数在指定点处的连续性．
1．
?2x,0?x?1?f(x)??1,x?1 在x?1处的连续性．
?1?x,x?1?f(1)?1，f(1?)?limf(x)?lim2x?2，
??x?1x?1解：因
f(1?)?limf(x)?lim(1?x)?2，从而limf(x)?2?f(1)，故函数在x?1??x?1x?1x?1处不连续．
1??ex,x?0 在x?0处的连续性．
f(x)????ln(1?x),x?02．
解：因
f(x)?lime?0， f(0)?0，f(0?)?lim??x?0x?01x，故函数在f(0?)?limf(x)?limln(1?x)?0，从而limf(x)?0?f(0)??x?0x?0x?0x?0处连续．
16
【例1-9】当常数
a为何值时，函数
?2x?a,x?0? 在x?0处连续？ f(x)??ln(1?x),x?0??xx?0x?0解：因
f(0)??a，f(0?)?limf(x)?lim(2x?a)??a，
??1ln(1?x)1xf(0?)?limf(x)?lim?limln(1?x)?limln(1?x)?1，
????x?0x?0x?0xx?0x故由连续性可得，
f(0?)?f(0?)?f(0)，即?a?1，故a??1．
【例1-10】求下列函数的间断点并判断其类型．
1x1．
f(x)?e ．
1x1x解：所给函数在
故x?0是间断点．又lime???，lime?0，故x?0x?0处无定义，
??x?0x?0是
f(x)的第二类间断点．
2．
xf(x)? ．
sinx解：所给函数在
x?k?（
k?0,?1,?2,?）处无定义，故x?0、
x?k?（
k??1,?2,?）是间断点．又limx?1，故x?0是第一类间断点，且是可去间断点；
x?0sinxxlim??，故x?k?是第二类间断点，且是无穷间断点． x?k?sinx3．
f(x)?e?1e?11x1x ．
解：所给函数在
x?0处无定义，故x?0是间断点．又
1xe?1f(0)?lim?1，1x?0?ex?1?1xf(0?)?lim?x?0e?1e?11x??1，故x?0是f(x)的第一类间断点且是跳跃间断点．
17
4．
1??arctan,x?0 ． f(x)??x?x?0?0,x?0时arctan11是初等函数，故arctan在x?0时xx解：该题是分段函数的连续性问题，因
是连续的，所以该题主要考虑分界点
x?0处的连续性．
，
由
f(0?)?limarctan?x?01??x2f(0?)?limarctan?x?01???x2，可知
x?0是
f(x)的第一类间断点且是跳跃间断点．
【例1-11】证明方程证：函数
x3?4x2?1?0在区间(0,1)内至少有一个根．
f(x)?x3?4x2?1在闭区间[0,1]上连续，又f(0)?1?0，f(1)??2?0，
根据零点定理，在（
(0,1)内至少有一点
?，使得
f(?)?0，即?3?4?2?1?0
320???1），该等式说明方程x?4x?1?0在区间(0,1)内至少有一个根是?．
【例1-12】证明方程
x?2x?1至少有一个小于1的正根．
f(x)?x?2x?1在区间[0,1]上连续，又f(0)??1?0，
证：由题意，函数
f(1)?1?0，根据零点定理，在(0,1)内至少有一点?，使得f(?)?0，即??2??1?0（
【历年真题】 一、选择题
x0???1），该等式说明方程x?2?1在区间(0,1)内至少有一个小于1的正根?．
1．（2010年，1分）函数
y?1?x2?arccosx?1的定义域是（ ） 2（A）
[?3,1] （B）[?3,?1] （C）[?3,?1) （D）[?1,1]
18
?1?x2?0??1?x?1??1?x?1?解：因 ? ， ? ，所以 x?1 ，故 ??1??2?x?1?2??3?x?1??1?2?． ?1?x?1，故选（D）
sin3x2．（2010年，1分）极限lim等于（ ）
x?0x（A）
0 （B）1 （C）
1 （D）3 3sin3x3x?lim?3，故选（D）解：lim．
x?0x?0xxn?(?1)n?（ ） 3．（2009年，1分）极限limn??n（A） （B）
10 （C）? （D）不存在
n?(?1)n(?1)n(?1)n?lim[1?]?1?lim?1?0?1，故选（A）解：lim．
n??n??n??nnn4．（2009年，1分）若
?x?1,x?0?f(x)??0,x?0 ，则limf(x)?（ ）
x?0?x?1,x?0?（A）
?1 （B）0 （C）1 （D）不存在
x?0解：因
limf(x)?lim(x?1)??1，limf(x)?lim(x?1)?1，
????x?0x?0x?0x?0x?0． limf(x)?limf(x)，故limf(x)不存在，选（D）
??x?0?x5．（2009年，1分）x?是函数y?的（ ）
2tanx（A）连续点 （B）可去间断点 （C）跳跃间断点 （D）第二类间断点
解：因
lim?x?2?xx的可去间断点，选（B）． ?0，故x?是函数y?2tanxtanx 19
6．（2008年，3分）设
1f(x)?xsin ，则limf(x)等于（ ）
x??x（A）
0 （B）不存在 （C）? （D）1
sin1x?1，故选（D）
．
1?lim解：limf(x)?limxsinx??x??xx??1x7．（2008年，3分）当
x?0时，3x2是sin2x的（ ）
（A）高阶无穷小 （B）同阶无穷小，但不等价 （C）低阶无穷小 （D）等价无穷小
3x23x2?lim2?3，故选（B）解：因 lim．
x?0sin2xx?0x8．（2007年，3分）当
x?0时，tan2x是（ ）
（A）比
sin3x高阶的无穷小 （B）比sin3x低阶的无穷小 sin3x同阶的无穷小 （D）与sin3x等价的无穷小
（C）与
tan2x2x2?lim?，故选（C）解：因 lim．
x?0sin3xx?03x3?x??,x?0]?（ ）9．（2006年，2分）设f(x)?sinx ，g(x)?? ，则f[g(x)
?x??,x?0（A）
sinx （B）cosx （C）?sinx （D）?cosx
x?0时，f[g(x)]?f(x??)?sin(x??)??sin(??x)??sinx；
解：当当
． x?0时，f[g(x)]?f(x??)?sin(x??)??sinx，故选（C）
1x10．（2005年，3分）设
lim(1?mx)?e2，则m?（ ）
x?0（A）
?11 （B）2 （C）?2 （D） 22 20