解：由
lim(1?mx)?lim[1?(?mx)]x?0x?01x1?(?m)?mx?e?m?e2，得m??2，选（C）．
11．（2005年，3分）设（A）
y?e?1x是无穷大，则
x的变化过程是（ ）
x?0? （B）x?0? （C）x??? （D）x???
1?11????，????，ex?0； 解：x?0时，xx1?11x?0时，???，????，ex???；故选（B）．
xx?二、填空题
??2x?1,x?11．（2010年，2分）若函数f(x)?? 在x?1处连续，则a? ．
?x?a,x?1解：
limf(x)?lim(?2x?1)??1，limf(x)?lim(x?a)?1?a，
????x?1x?1x?1x?1x?1x?1因
f(x)在点x?1处连续，故limf(x)?limf(x)，即?1?1?a，a?2．
??2．（2010年，2分）
x?0是函数f(x)?xcos1的第 类间断点． x1?0，故x?0是函数f(x)的第一类间断点． 解：因 limf(x)?limxcosx?0x?0x3．（2009年，2分）设
?1,?f(x)??0,??1,?x?1x?1 ，g(x)?ex，则g[f(ln2)]? ． x?1解：因
0?ln2?1，故 f(ln2)?1，所以 g[f(ln2)]?g(1)?e1?e．
y?sin1在x?0处是第 类间断点． x4．（2009年，2分）
11??，sin 没有极限，故 x?0 是第二类间断点． 解：因x?0时，
xx5．（2008年，4分）函数
y?lnx?arcsinx的定义域为 ．
21
?x?0解：由题意，? ，故原函数的定义域为 (0,1]．
??1?x?16．（2008年，4分）设数列xn有界，且limyn?0，则limxnyn? ．
n??n??解：数列可看作特殊的函数，因数列是无穷小可得，
xn有界，数列yn为无穷小，所以根据无穷小与有界函数的乘积仍然
limxnyn?0．
n??7．（2008年，4分）函数解：由
y?3x?1的反函数为 ．
y?3x?1可得，y3?x?1，x?y3?1，故反函数为 y?x3?1．
2x?18．（2007年，4分）函数y?arcsin的定义域为 ．
32x?1?1得，?3?2x?1?3，即?1?x?2，所以定义域为[?1,2]． 解：由?1?39．（2007年，4分）
lim(x??x?12x)? ． xx?12x?12x?1?x?(?2))?lim(1?)?lim(1?)?e?2． 解：lim(x??x??x??xxx10．（2006年，2分）若函数
?1?2x21?x12),x?0?( 在x?0处连续，则f(x)??1?x2?2x?a,x?0?a? ．
解：
x?0limf(x)?lim(2x?a)??a，
??x?021?1x221?2xlimf(x)?lim()x?0?x?0?1?x因
?3x?3x2?(?3)?3， ?lim(1?)?e2?x?01?xx?021?x2?3?3f(x)在x?0处连续，故lim，即?a?e，故a??e． f(x)?limf(x)??x?0三、计算题
?x?c?1．（2010年，5分）求极限 lim??x??x?c??
x，其中
c为常数．
22
解：
2c?2c??x?c???lim??lim1??lim1??x??????x??x?c???x?c?x???x?c?limx?0xxx?c2cx?2cx?c?e2c．
2．（2010年，5分）求极限
tanx?x． 3xtanx?xsec2x?1tan2x1?lim?lim?． 解：lim322x?0x?0x?0x3x3x3说明：此题也可多次使用洛必达法则，解法如下：
tanx?xsec2x?12secx?secxtanx1lim?lim?lim?．
32x?0x?0x?0x3x6x33??13．（2009年，5分）求极限 lim? ． ?3?x?11?x1?x??解：此题为“???”型的极限，解法如下：
3?1?x?x2?3(x?1)(x?2)?1lim???lim?lim??1．
3?32x?11?xx?1x?11?x?1?x(1?x)(1?x?x)?ex?e?x4．（2009年，5分）求极限 limx?0sinx ．
ex?e?xex?e?x2?lim??2． 解：limx?0x?0sinxcosx1sin2x5．（2008年，5分）求极限 lim ．
?x?cos(??x)2sin2x2cos2x解：lim?lim??2．
??x?cos(??x)x??sin(??x)?(?1)226．（2007年，5分）求极限
11lim(?x) ． x?0xe?111ex?1?xex?1?xex?11解：lim(?)?lim?lim?lim?．
xx2x?0xx?0x?0x?0e?1x(e?1)x2x2说明：
x?0时，ex?1~x．
23
11?) ． 7．（2006年，4分）求极限 limcotx(x?0sinxx解：
limcotx(x?011cosx(x?sinx)x?sinx?)?lim?lim
23x?0x?0sinxxxsinxx12x1?cosx2?1．
?lim?limx?0x?03x23x268．（2006年，4分）设
f(x)??1?cosx056xxsint2dt，g(x)??56，求
limx?0f(x)．
g(x)解：因
x?0时，f(x)??1?cosx01?cosx056xxsint2dt?0，g(x)???0，
56且
f?(x)?(?sint2dt)??sinxsin(1?cosx)2，g?(x)?x4?x5，
f(x)f?(x)sinxsin(1?cosx)2x(1?cosx)2故 lim?lim?lim?lim45x?0g(x)x?0g?(x)x?0x?0x?xx4?x512214x(x)x?x1x24?lim4?lim4?lim?0．
x?0x?x5x?0x?x5x?041?x9．（2005年，5分）求极限
lim(x?111?) ．
x?1lnx1?111lnx?x?1x?)?lim?lim解： lim(
x?1x?1x?1x?1x?1lnx(x?1)lnxlnx?x1?x?11?lim?lim??．
x?1xlnx?x?1x?1lnx?1?12 24