上面的案例说明： （1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，
合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。 （2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定
了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。 （3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实
验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。
五，巩固练习： 阅读课本第39页 棱台体积公式的探求
通过阅读或查资料，寻找合情推理和演绎推理在数学推理在数学活动中的作用的案例，并回答问题：
1 。案例中的数学活动是由哪些环节构成的？ 2 。在上这个过程中提出了哪些猜想？ 3 ， 提出猜想时使用了哪些推理方法？
4， 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用？ 六，教学小结：
（1）数学发现过程是一个探索创造的过程.是一个不断地提出猜想验证猜想的过程，
合情推理和论证推理相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程。 （2）合情推理是富于创造性的或然推理，在数学发现活动中，它为演绎推理确定
了目标和方向，具有提出猜想、发现结论，提供思路的作用。 （3）演绎推理是形式化程度较高的必然推理，在数学发现活动中，它具有类似于“实
验”的功能，它不仅为合情推理提供了前提，而且可以对猜想作出“判决”和证明，从而为调控探索活动提供依据。
七，作业：
八，教后感：
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课题：
直接证明--综合法与分析法
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2．教学重点：了解分析法和综合法的思考过程、特点 3．教学难点：分析法和综合法的思考过程、特点 4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
6．教学过程:
学生探究过程：证明的方法 （1）、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。 （2）、例1．设a、b是两个正实数，且a≠b，求证：a3+b3＞a2b+ab2． 证明：(用分析法思路书写) 要证 a3+b3＞a2b+ab2成立，
只需证(a+b)(a2-ab+b2)＞ab(a+b)成立， 即需证a2-ab+b2＞ab成立。(∵a+b＞0) 只需证a2-2ab+b2＞0成立， 即需证(a-b)2＞0成立。
而由已知条件可知，a≠b，有a-b≠0，所以(a-b)2＞0显然成立，由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b，∴a-b≠0，∴(a-b)2＞0，即a2-2ab+b2＞0 亦即a2-ab+b2＞ab
由题设条件知，a+b＞0，∴(a+b)(a2-ab+b2)＞(a+b)ab 即a3+b3＞a2b+ab2，由此命题得证
24223(1?x?x)?(1?x?x). x?1例2、若实数，求证：
证明：采用差值比较法：
3(1?x2?x4)?(1?x?x2)2
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=3?3x?3x?1?x?x?2x?2x?2x =2(x?x?x?1) =2(x?1)(x?x?1)
4322242423132(x?1)2[(x?)2?].24 =
13?x?1,从而(x?1)2?0,且(x?)2??0,24
132(x?1)2[(x?)2?]?0,24223(1?x?x)?(1?x?x). 24∴ ∴
?a,b?R,求证aabb?abba. 例3、已知
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于a,b对称，不妨设
a?b?0. ?a?b?0?aabb?abba?abbb(aa?b?ba?b)?0，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设a?b?0,
aabbaa??1,a?b?0,?ba?()a?b?1.bb ab故原不等式得证。
注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明
不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。 讨论：若题设中去掉x?1这一限制条件，要求证的结论如何变换？ 巩固练习：第81页练习1 , 2 , 3 , 4 课后作业：第84页 1，2, 3
教学反思：本节课学习了分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
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间接证明--反证法
1．教学目标：
知识与技能：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；
情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。 2.教学重点：了解反证法的思考过程、特点
3. 教学难点：反证法的思考过程、特点
4．教具准备：与教材内容相关的资料。
5．教学设想：利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。
6．教学过程:
学生探究过程：综合法与分析法 (1)、反证法
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。 (2)、例子 例1、求证：2不是有理数 nna?b（n?N且n?1） a?b?0例2、已知，求证： 例3、设a?b?2，求证a?b?2. 第14页 共43页 33证明：假设a?b?2，则有a?2?b，从而
a3?8?12b?6b2?b3,3322a?b?6b?12b?8?6(b?1)?2.
26(b?1)?2?2，所以a3?b3?2，这与题设条件 因为
a3?b3?2矛盾，所以，原不
等式a?b?2成立。
2f(x)?x?px?q，求证：f(1),f(2),f(3)中至少有一例4、设二次函数
1个不小于2.
1f(1),f(2),f(3)证明：假设都小于2，则
f(1)?2f(2)?f(3)?2. （1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有
f(1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)
?(1?p?q)?2(4?2p?q)?(9?3p?q)?2 （2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。 注意：诸如本例中的问题，当要证明几个代数式中，至少有一个满足某个不等式时，通常采用反证法进行。
议一议：一般来说，利用反证法证明不等式的第三步所称的矛盾结果，通常是指所推出的结果与已知公理、定义、定理或已知条件、已证不等式，以及与临时假定矛盾等各种情况。试根据上述两例，讨论寻找矛盾的手段、方法有什么特点？
1例5、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于4
111 证：设(1 ? a)b >4, (1 ? b)c >4, (1 ? c)a >4,
1则三式相乘：ab < (1 ? a)b?(1 ? b)c?(1 ? c)a <64 ① 1?(1?a)?a?0?(1?a)a????24 ??又∵0 < a, b, c < 1 ∴
2
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