(1?b)b?同理：
11(1?c)c?4, 4
1以上三式相乘： (1 ? a)a?(1 ? b)b?(1 ? c)c≤64 与①矛盾
∴原式成立
例6、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，求证：a, b, c > 0 证：设a < 0, ∵abc > 0, ∴bc < 0 又由a + b + c > 0, 则b + c = ?a > 0
∴ab + bc + ca = a(b + c) + bc < 0 与题设矛盾 又：若a = 0，则与abc > 0矛盾， ∴必有a > 0 同理可证：b > 0, c > 0
巩固练习：第83页练习3、4、5、6 课后作业：第84页 4、5、6
教学反思：
反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。 反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于；垂直于/不垂直于；等于/不等于；大(小)于/不大(小)于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有(n一1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个。
归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾。
课题:
数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。 2．掌握数学归纳法证明问题的方法。 3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
二、教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。
难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
三、教学过程：
【创设情境】
1．华罗庚的“摸球实验”。 2．“多米诺骨牌实验”。
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问题：如何保证所摸的球都是红球？多米诺骨牌全部倒下？处了利用完全归纳
法全部枚举之外，是否还有其它方法？
数学归纳法：数学归纳法实际上是一种以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，是处理自然数问题的有力工具。
【探索研究】
1．数学归纳法的本质：
无穷的归纳→有限的演绎（递推关系）
2．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确； （2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
【例题评析】
例1：以知数列{an}的公差为d，求证：an?a1?(n?1)d
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关
系，是解题的关键。
②数学归纳法证明的基本形式；
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确； （2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
EX: 1.判断下列推证是否正确。
P88 2,3
2. 用数学归纳法证明
1?4?2?7?3?10???n(3n?1)?n(n?1)
2例2：用数学归纳法证明
111??????1(n∈N,n≥2)
n?1n?23n?1数
学
归
纳
法
证
说明：注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。 EX:1.
明:1?用
11111111 ???????????2342n?12nn?1n?22n(1)当n=1时,左边有_____项,右边有_____项； (2)当n=k时,左边有_____项,右边有_____项； (3)当n=k+1时,左边有_____项,右边有_____项； (4)等式的左右两边,由n=k到n=k+1时有什么不同?
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变题: 用数学归纳法证明
111?2????n?1 (n∈N+) 222例3：设f(n)=1+
【课堂小结】
111?????,求证n+f(1)+f(2)+?f(n-1)=nf(n) (n∈N,n≥2) 23n说明：注意分析f(k)和f(k+1)的关系。
1．数学归纳法公理：
（1）（递推奠基）：当n取第一个值n0结论正确；
（2）（递推归纳）：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。 2. 注意从n=k到n=k+1时,添加项的变化。利用归纳假设创造递推条件，寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
【反馈练习】
1．用数学归纳法证明3k≥n3(n≥3,n∈N)第一步应验证( ) A n=1 B n=2 C n=3 D n=4
2．用数学归纳法证明1?111????n?n?n?N且n?1?第二步证明从“k232?1k到k+1”，左端增加的项数是( ) A. 2k?1 B 2?1 C 2k D 2k?1 11113 ?????n?1n?22n2411713证明 (1)当n=2时， ???2?12?2122411113(2)假设当n=k时成立，即 ?????k?1k?22k241111111则当n?k?1时,????????k?2k?32k2k?12k?2k?1k?1131111311 ???????242k?12k?2k?1242k?12k?213113???242(2k?1)(k?1)243．若n为大于1的自然数，求证 4．1???用数n学归纳法证明?n??? ?n??2??n????n???? ?2?13??2n?【课外作业】 《课标检测》 第18页 共43页
数学归纳法
一、教学目标：
1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题
3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。 二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
难点：归纳→猜想→证明。
三、教学过程：
【创设情境】
问题1：数学归纳法的基本思想？
以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。（递推关系）
问题2：数学归纳法证明命题的步骤？
（1）递推奠基：当n取第一个值n0结论正确；
（2）递推归纳：假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确；（归纳假设）
证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。
数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n项和等问题。 【探索研究】
7n?1能被9整除。 问题：用数学归纳法证明：(3n?1)?法一：配凑递推假设：
法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。
说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。
②注意从“n=k到n=k+1”时项的变化。
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【例题评析】
例1：求证: an?1?(a?1)2n?1能被a2?a?1整除（n∈N+）。
例2：
数列
{an}中，
an?1?an,a1=1
且
(an?1?an)2?2(an?an?1)?1?0
（1）求a2,a3,a4的值；
（2）猜想{an}的通项公式，并证明你的猜想。
说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明
2变题：（2002全国理科）设数列{an}满足an?1?an?nan?1，n∈N+, (1)当a1=2时，求a2,a3,a4，并猜想{an}的一个通项公式；
（2）当a1≥3时，证明对所有的n≥1,有 ①an≥n+2 ②
1111??????
1?a11?a21?an2
例3：平面内有n条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这
n条直线将平面分成多少部分？
变题：平面内有n个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同
一点，求证：这n个圆把平面分成n+n+2个部分。
2
2k?1?x)?2k?1,(k例4：设函数f(x)是满足不等式log2x?log2(3?∈N+)的自然数x的个数；
（１）求f(x)的解析式；
（２）记Sn=f(1)+f(2)+?+f(n),求Sn的解析式；
（３）令Ｐn=n2+n-1 (n∈N+),试比较Ｓn与Ｐn的大小。
【课堂小结】
1.猜归法是发现与论证的完美结合
数学归纳法证明正整数问题的一般方法：归纳→猜想→证明。 2.两个注意：
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