哈尔滨学院本科毕业论文（设计）
x1?x2f(x1)?f(x2)nfn(x1)?fn(x2)]? f()? [
222n可知fn(x)在区间(a,b)上也为凸函数。
性质5 设函数f(x)在区间(a,b)为凸函数，设函数g(x)在区间(c,d)为单调增加凸函数，且f(x)的值域A={f(x)x?(a,b)}?(c,d)，则g[f(x)]在(a,b)为凸函数。
证明：?x1,x2?I,???(0,1), 因函数f(x),g(x)在区间I为凸函数，从而
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)
且
g(?x1?(1??)x2)??g(x1)?(1??)g(x2)
因此
g[f(?x1?(1??)x2)]?g[?f(x1)?(1??)f(x2)]??g[f(x1)]?(1??)g[f(x2)]
可知g[f(x)]在(a,b)为凸函数。
性质6 设y?f(x)在区间I为严格减少的凸函数，则反函数x?f?1(y)也为凸函数。
分析:根据凸函数的性质和反比例函数的性质，利用函数y?f(x)在区间I上的单调性可以证明反函数x?f?1(y)也为凸函数。
?1证明：因y?f(x)在区间I上严格减少，从而存在反函数x?fA={yy?f(x)x?I}，???(0,1).?y1,y2?A, 则?x1,x2?I，使
y1?f(x1),y2?f(x2)
(y)，设
即
x1?f?1(y1),x2?f?1(y2)
则y?f(x)为凸函数，从而
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2)=f{f?1[?f(x1)?(1??)f(x2)]}
因为y?f(x)严格减少。因此，
f?1[?f(x1)?(1??)f(x2)]??x1?(1??)x2
即
f?1[?y1?(1??)y2]??f?1(y1)?(1??)f?1(y2)
因此，由定义知x?f?1(y)在A={yy?f(x)x?I}也为凸函数。
2.凸函数的积分性质
将凸性与函数的连续性（甚至单侧连续性）、单调性等联系起来,应用到积分学中可以
7
哈尔滨学院本科毕业论文（设计）
得到许多好的结论。
1x性质7 设f(x)是[0,??)上的凸函数,则F(x)??f(t)dt为(0,??)上的凸函数.
x0分析：利用凸函数的定义和求导公式可以证明 F(x)?数。
1xf(t)dt为(0,??)上的凸函?0x 证明：f(x)为[0,??)上的凸函数,因此它在(0,??)内连续,f(x)在[0,x]上有界.由此知
1xtF(x)??f(t)dt有意义. ?x?0,令 u? 时
xx0x1xF(x)??f(t)dt??0x01?t?tf?x?d??f(xu)du ?x?x0???(0,1),?x1,x2?0，恒有
F[?x1?(1??)x2]??f{[?x1?(1??)x2]u}du
01 =?f[?x1u?(1??)x2u]du
01 ??[?f(x1u)?(1??)f(x2u)]du （因f的凸性）
01 ??F(x1)?(1??)F(x2)
所以F是(0,??)上的凸函数.
性质8 设函数g(x)在[a,b]上递增,则?c?(a,b),函数f(x)??g(x)为凸函数.
cx分析：利用函数的增减性不等式的性质可以证明函数f(x)??g(x)为凸函数。
cx 证明： 因g(x) 递增,积分有意义.且?x1?x2?x3。
x2f(x2)?f(x1)1?g(x)dx?g(x2)
x2?x1x2?x1?x1?1x3?x2?x3x2g(x)dx?f(x3)?f(x2)
x3?x2故f(x)为凸函数.
1.1.3一元凸函数的判定
定理1[1] 设函数f?x?为I上可导，则f?x?为I凸函数的充要条件是：?x1,x2?I,总有
f?x2??f?x1??f??x1??x2?x1? ?3?
且当f?x?为I上的严格凸函数时，不等式（3）严格成立。
8
哈尔滨学院本科毕业论文（设计）
定理2 函数f?x?为I上的凸函数的充要条件是：?x1,x2?I,x1?x?x2,总有
f?x??f?x1?f?x2??f?x? ?4? ?x?x1x2?x?2?且当f?x?为I上的严格凸函数时，不等式（4）严格成立。
定理3?2? 函数f?x?为I上的凸函数的充要条件是：?x1,x2?I,x1?x?x2,总有 f?x??x2?xx?x1f?x1??f?x2? ?5? x2?x1x2?x1且当f?x?为I上的严格凸函数时，不等式（5）严格成立。
定理4[11] 设函数f(x)在开区间I可导，函数f(x)在区间I是凸函数（凹函数）
??x1,x2?I，且x1?x2,有
f'(x1)?f'(x2)（f'(x1)?f'(x2)）.
证明： 只给出凸函数情况的证明，同法可证凹函数的情况。
必要性(?)若函数f(x)在区间I是下凸函数，?x1,x2?I，且x1?x2，?x:x1?x?x2由
f(x)?f(x1)?x?x1f(x2)?f(x) （6）
x2?x有
f(x)?f(x1)f(x)?f(x2) ?x?x1x?x2已知函数在x1与x2都可导（当然也连续）。根据极限保号性定理分别有
limx?x1f(x)?f(x1)f(x)?f(x2) ?limx?x1x?x2x?x1即
f'(x1)?f(x1)?f(x2)
x1?x2与
limf(x)?f(x1)f(x)?f(x2) ?limx?x2x?x1x?x2x?x2即
f(x2)?f(x1)?f'(x2)
x2?x1
9
哈尔滨学院本科毕业论文（设计）
于是
f'(x1)?f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)= ?f'(x2)
x1?x2x2?x1充分性(?)?x1,x,x2?I,且x1?x?x2. 根据微分中值定理,??1,?2:x1??1?x??2?x2, 有
f(x)?f(x1)=f'(?1)
x?x1与
f(x)?f(x2)= f'(?2)
x?x2已知f'(?1)?f'(?2)，即
f(x)?f(x1)f(x)?f(x2) ?x?x1x?x2由（6）式知，函数在区间I是凸函数。
定理5[11] 若函数f(x)在开区间I存在二阶导数，且
（1）?x?I,有f''(x)?0,则函数f(x)在区间I严格凸函数。 （2）?x?I,有f''(x)?0,则函数f(x)在区间I严格凹函数。
1.2 多元凸函数的定义及性质
凸函数的概念可以从一元函数推广到多元函数，但是，这需要多元函数的定义域是凸的。
1.2.1多元凸函数的定义
定义3[12] 设集合S?Rn，若对于任意的x1,x2?S以及任意的??(0,1)，有
xa??x1?(1??)x2?S
则称集合S是凸集。
由定义易知，S是凸集，当且仅当连接S中任意两点的线段在S中。 性质9[12] 集合S?Rn是凸集的充要条件是对于任意自然数n?2，若点
x1,x2,?,xn?S，则其非负线性组合
10
哈尔滨学院本科毕业论文（设计）
??kxk?S
k?1n其中?k?0,且??k?1.
k?1n性质10[12] 任意两个凸集的交集是凸集。 注1 两个凸集的并集未必是凸集。 定义4[12] 设A,B?Rn，定义
?A??B?{cc??a??b,a?A,b?B}
性质11[12] 设A,B(?Rn)是凸集，?,?是实数，则?A??B是凸集。
定义5[12] 设S?Rn是一非空凸集，f:S?R，若对于任意的x1,x2?S及任意的
??(0,1)，有
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) 则称f(x)在集合S上是凸函数；若
f(?x1?(1??)x2)??f(x1)?(1??)f(x2) 则称f(x)在集合S上是凹函数。
1.2.2多元凸函数的性质
定理6[12] 设S?Rn是凸集，f:S?R，则f(x)是凸函数当且仅当对于任意的自然数
n?2,xk?S,k?1,2,?,n,有
nn f(??kxk)???kf(xk)
k?1k?1其中?k?0,??k?1.
k?1n定理7[12] 设fi(x)是凸集S上的凸函数，i?1,2,?,n,又?i?0,i?1,2,?,n，则
f(x)???ifi(x)是凸函数。
i?1n定理8[12] 设f:Rn?R是凸函数，?:R?R是非减凸函数，则复合函数?[f(x)]是Rn上的凸函数。
1.2.3多元凸函数的判定
如果可行域是凸集，目标函数是凸函数，则所论的最优化问题是一个凸规划问题。那么哪些函数是凸函数呢? 最常见也是最简单的凸函数是变量x?(x1???xn)? 的线性函数，例
11