哈尔滨学院本科毕业论文（设计）
至于最小值，我们注意到当4 x的绝对值越小，4 y的值越小，4 g(x,y)越小，故
1ming(x,y)?g(0,?2)?? (x,y)?D2再由4 sinx的单调性，有
4 minf(x,y)??sin(x,y)?D1. 2注意，4 f(x,y)的极小值点不在八边形的顶点集上。
例2 已知4 x,y满足下列不等式
4 x?2y?7?0,4x?3y?12?0,x?2y?3?0
求4 f(x,y)?x2?y2的最大值和最小值。
5解：约束条件构成4 (x,y)的区域为下图（4-2）中以4 A(9,8),B(?2,),C(3,0)为顶
2点的三
yA(9,8)B(-2,5/2)HOC(3,0)x
图4-2
角形闭域4 S.
我们来证明4 f(x,y)是4 S上的下凸函数。对于任意的4 M1(x1,y2)与M2(x2,y2)，
?x2?22?y2)?0 4 (x2,y2)A(x1,y1)4 ??=4 2(x2?y2?可知4 f(x,y)是4 S上的下凸函数。可得
4 max{f(x,y)(x,y)?S}?max{f(A),f(B),f(C)}?f(A)?f(9,8)?145
为求4 min{f(M)M?S},首先注意到，对于4 M?S,f(M)表示点4 M到坐标原点
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的距离，故
4 min{f(M)M?S}?OH?从而得
4 min{f(x,y)(x,y)?S}?
9 5?312?22?3 54.2 弓形面积的最值
下面我们通过一个例题来研究求弓形面积的最值问题。
例3求抛物线y2?4ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值。 解法1： 弦方程法:
./../../Application Data/Tencent/Users/1143905438/QQ/WinTemp/RichOle/R6LIM0
0A0VF{OD@T)S$G2}H.jpg\
图4-3
设过焦点?a,0?的弦的方程为x?ky?a与y2?4ax联立 解这个方程
y2?4a?ky?a? ?y1?2ak?k2?1，y2?2ak?k2?1
????且y1?y2，这样就有了弦与抛物线围成的弓形的面积为
s??y2y1?y2???ky?a?4a??dy ???ky2y3?y2 ???2?ay?12a??y
??1 ?
k213y2?y12?a?y2?y1??y2?y13 212a????28
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我们把y1和y2的值代入
3822 s?a?k?1?2
38通过这个得式我们观察到：当k?0时弓形面积最小，最小面积为a2。
3解法2：极坐标方程法
取?a,0?为极点，x轴为极轴建立极坐标系，则抛物线y2?4ax的极坐标方程为 p2sin2??4apcos??4a2 化简得
p?2a
1?cos?过焦点的弦的极坐标方程为??a,0????，这样我们就可以得到弦与抛物线围成的弓形面积为
1a??s??2a4a2d? 2?1?cos?? ?2a2?a??14sin4a?2d?
?a2?a??acsc4d()
22a???? ??a2?a(1?cot2)dcot
221??? ?cot3)|aa232?? ?-a2(cot??1aa1a ?a2(cot?tan3?cot?cot3)
232232aa(sin2)3?(cos2)31122) ?a2(?aa3aasincossin3cos3222211?3cos2a?) ?2a(3sina3sina28a2 ? 33sina 29
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当a??8时，弓形的面积最小，那么它的最小面积是a2。
32解法3： 解法1和解法2综合法
我们将解法1和解法2结合起来，也就是说先在极坐标系下判定何时面积最小，然后在直角坐标系下求得面积。
由解法2，我们得到的面积
1a??4a2 s??d? 2a2(1?cos?）?1ds1?2a2a2??-（)?21?cosada2?1?cos(a??）?
2令
ds??0时，得a? da2由于驻点唯一，所以当过焦点的直线垂直x轴时，弓形面积最小。此时的最小面积为：
s?2?a034axdx
8a2a82?x|0?a 33从以上我们可以看出：无论哪种解法，我们计算起来都有一定的难度，我们通过例题所描述的问题推广到一般的情形，同时也给出了不同的解法。
结论：设x?g(y),y?(??,??)是一光滑凸函数，(x0,y0)是曲线右侧的一个定点，试求过(x0,y0)且与曲线x?g(y)相交的诸弦中，与曲线所围成的弓形面积最小的弦的位置。 解如图4-4，设过点(x0,y0)的弦的方程为x?k(y?y0)?x0，它与曲线x?g(y)交点的纵坐标为y1?y1(k)，y2?y2(k)，不妨设y1?y2 于是我们就得到了弦对应的弓形的面积为
s??y2(k)y（1k)?ky?x0?y0k?g(y)?dy
?k?2(k)y2(k)??y2?(x0?y0k)y?|yg(y)dy y1(k)??y(k)1?2?y2(k)k?y2(k)??k?y1(k)??(x0?y0k)?y2(k)?y1(k)???g(y)dy ?y1(k)222ds?y2(k)???y1(k)?????k?y2(k)y2(k)?y1(k)y1(k)?????dk222
?(k)-y1?(k)??y0?y（-y1(k)??(x0?y0k)?y22k）
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?(k）?(k) ?y2?g?y（?g?y1(k)?y12k）22????y（k）?y(k)1?2?y?y（k）-y(k)?
2021?(k)??ky?(k) ??ky（?x0?y0k?y2（?x0?y0k?y12k）1k）?(k）?(k) ?y2?g?y（?g?y1(k)?y12k） 因为在曲线与弦的交点有
g(y1)?k?y1?y0??x0，g(y2)?k?y2?y0??x0
所以
???y1(k)??y?y（k）ds?y（k） ?2-y1(k)? 02dk22222?y（?y0???y1(k)?y0?2k） ?
2令
ds22（?y0???y1(k)?y0? ?0得： ?y2k）dky（（2k)?y0???y1k)?y0?
y0?y（（2k)?y1k)2
ppData/Roaming/Tencent/Users/1143905438/QQ/WinTemp/RichOle/6JS)LOJ@{SZS@~P@
QJI]_`I.jpg\
图
4-4./../../Application Data/Tencent/Users/1143905438/QQ/WinTemp/RichOle/MR3KX$LEVESU6ZMV%`6C12Q.jpg\
这就是说，当点(x0,y0)为弦的中点时，所形成的弓形的面积最小。
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