哈尔滨学院本科毕业论文（设计）
解： 由方程组
22??fx1?6x1?6x1?12x1x2?12x2?6x2?0 ?2f??6x?12xx??6x?0?x21122?得到f 的稳定点p1?0,0?；p2?0,1?；p3??1,?1?；p4?1,0?。 由 于
fx1x1?12x1?6?12x2，fx1x2??12x1?12x2?6，fx2x1??12x1?12x2?6，fx2x2?12x1
??66?Hf?p1????60??是不定矩阵 ， 所以 f 在?0,0?不能取得极值 。
???6?6?Hf?p2????60??是不定矩阵 ，所以 f 在?0,1?不能取得极值 。
????66?Hf?p3????612??是负定矩阵 ，所以??1,?1?是f的极大值点 。
???6?6?Hf?p4?????612??是正定矩阵 ，所以?1,0?是 f 的极小值点 。
??所以f?x?的所有稳定点为?0,0?；?0,1?；??1,?1?；?1,0?。其中?1,0?是f?x?的极小值点，??1,?1?是f?x?的极大值点，?0,0?与?0,1?既不是f?x?的极大值点也不极小值点。
第三章 凸函数与极值相关理论
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众所周知，有界闭区域上的连续函数一定能够取到最大值与最小值，但最大值点与最小值点可能在区域的任意点。但是对于凸函数来说，它的最大（小）值有着一些特殊的性质。
定理1 设4 S?Rn是一非空有界闭凸集，4 f:S?R是凸函数。
（ⅰ）若4 x0是4 f(x)在4 S上的局部极小值，则4 x0是4 f(x)在4 S上的最小值 ；
（ii）若4 f(x)是严格凸函数，则它在4 S上的最小值点是唯一的。
证明：（i）若4 x0是4 f(x)的一个局部极小值点，则存在4 x0的一个邻域4
N(x0,?)，对于4 x?N(x0,?)，有
4 f(x)?f(x0).
0
从而有
4 f((1??)x0??x0)?f(x0)
又由4 f(x)是凸函数，故有
4 f(x0)?(1??)f(x0)??f(x1)
移项即可得，4 f(x0)?f(x1)，故4 f(x0)在4 S上取最小值； （ii）假设4 f(x)在4 S上的两点4 x0,4 x1取到最小值，即
4 f(x0)?f(x1)?min{f(x)x?S}.
因4 S是凸集，故对于4 ??(0,1),?x0?(1??)x1?S. 又由4 f(x)是严格凸的，则有
4 f(?x0?(1??)x1)??f(x0)?(1??)f(x1)?f(x0)
这与4 f(x0)在4 S上取最小值矛盾。
定理2 有界闭凸集4 S上的凸函数4 f(x)必在4 S的边界4 ?S上取到最大值。 证明： 设
4 x0?S?Rn,f(x0)?max{f(x)x?S}，
若4 x0??S则定理得证；否则，4 x0?S的内点，过4 x0任做一“直线”，由有界闭凸集的性质，该“直线”必与边界4 ?S交于两点，设为4 x1,x2,于是存在正数4
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?,? 且????1. 由假设知
4 f(x1)?f(x0),f(x2)?f(x0)
故
若4 f(x2)?f(x0)，则
4 f(x0)??f(x1)??f(x0)
即
4 (1??)f(x0)??f(x1)
从而有4 f(x0)?f(x1)，这与点4 x0为最大值点矛盾，故
4 f(x2)?f(x0).
同理
4 f(x1)?f(x2)?f(x0)?max{f(x)x?S}.
定理3 设4 S?Rn 为有界凸多面体，4 x1,x2,?,xN为4 S的顶点，4 f(x)为4
f(x0)?f(?x1??x2)??f(x1)??f(x2)S上的凸函数，则4 f(x)的最大值必在4 S的顶点上取到，即
4 max{f(x)x?S}?max{f(xi)1?i?N}
证明： 由定理2知，存在4 x0??S, 使
4 f(x0)?max{f(x)x?S}
设4 x0在4 S的某一侧面4 ?上，则4 ?的顶点是4 S的顶点中的一部分。若4 x0是4 ?的顶点，则结论已成立；若4 x0不是4 ?的顶点，设4 x1，?，4 xm是4
?的顶点，则存在
4 ?1?0,?,?m?0,?1??2???m?1
且
4 x0??1x1????mxm
由4 f(x)的凸性知，
4 f(x0)?f(??ixi)???if(xi)?f(x0)
i?1i?1mm由此可知
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4 f(x0)?f(xi),i?1,2,?,m.
注1 若4 f(x)是凹函数，则4 f(x)在凸多面体上的最小值必在该多面体的顶点得到。 推论1 若4 f(x)是有界凸多面体4 S?Rn上的线性函数，则4 f(x)的最大值，最小值都在该多面体的顶点上取到。
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第四章 利用凸函数求解极值问题
4.1 将极值问题转化为凸函数问题求解
x2?y例1 在条件4 x?1?x?1?y?1?y?1?6的约束下，求函数4 f(x,y)?sin4的最大值和最小值。
解：约束条件在4 xy平面上构成一个八边形（如图4-1）。
y(-1,2)(-2,1)(1,2)(2,1)x(-2,-1)(2,-1)(-1,-2)(1,-2)
图4-1
x2?y先考虑函数4 g(x,y)?,由于4 x2是一元凸函数，
424 [?x1?(1??)x2]2??x12?(1??)x2
而4 y是线性函数，所以
[?x1?(1??)x2]2?[?y1?(1??)y2]g[?(x1,y1)?(1??)(x2,y2)]?44 22x?y1x?y2??1?(1??)2??g(x1,y1)?(1??)g(x2,y2)44有
4 maxg(x,y)?maxg(xi,yi)?g(2,1)?(x,y)?D1?i?85， 45?????又由于4 ?,4 sinx在4 ??,?上单调增，所以
42?22?x2?y5?sin. 4 maxsin(x,y)?D44
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