（1）当K=10时，系统闭环传递函数为：
?(s)? 系统的性能参数为
100
s2?10s?100?=0.5，?n=10
系统相关动态性能指标为
?%?e???ts?（2）当K=20时闭环传递函数为：
1??2?100%?25.7%
(??5%)
3??n?0.6s?(s)? 系统的性能参数为
200 2s?10s?200?n=102，??系统相关动态性能指标为
2 4?%?ets????1??2?100%?35.4%
3??n(??5%)?0.6s
由以上分析可见，增大系统开环传递系数K，将增大系统超调量，使系统振荡加剧，对系统的动态性能不利。
3.4 如图3.3所示，若某系统加入速度负反馈?s，为使系统阻尼比??0.5，试确定（1）?的取值；（2）系统的动态性能指标?%和ts。
图3.3 加入速度负反馈的系统
解：（1）该控制系统的闭环传递函数为
1010s(s?1)?(s)??2
105?s?(1?5?)s?101??s(s?1)s?1与二阶系统标准的零极点表达式比较，可得
2??n?1?5?
并考虑到：?n?10，??0.5，所以
??（2）系统的动态性能指标如下
10?1?0.432 5?%?ets????1??2?100%?25.7%
3??n(??5%)? 1.9s
3.5 实验测得单位负反馈二阶系统的单位阶跃响应曲线如图3.4所示。试确定该系统的开环传递函数GK(s)。
图3.4 二阶系统的阶跃响应曲线
解：由图3.4所示，可知二阶系统的单位阶跃响应峰值时间为
tp???n1??2?3.14?n1??2?0.2s
?%?e联立以上方程可得：
???1??2?100%?1.25?1?100%?25%1??0.515，?n=18.33
并由于系统的单位阶跃响应稳态值为1，说明系统的闭环传递系数K=1，故求得系统闭环传递函数为
2K?n335 ?(s)?2?2s?2??ns??ns2?18.88s?335系统为单位负反馈结构，因此有
?(s)?推出系统开环传递函数如下
GK(s)
1?GK(s)2?n?(s)335 GK(s)??2?21??(s)s?2??nss?18.88s
3.7 已知单位负反馈系统的开环传递函数为 （1）GK(s)?205s?1 （4）GK(s)?3
s(s?1)(s?5)s(s?1)(s?2)试分别用劳斯判据判定系统的稳定性。
解：（1）系统闭环传函为：
?(s)?3220 32s?6s?5s?20闭环特征方程为：s?6s?5s?20=0，列劳斯表如下
s3
1 5 6 20
s2
s1
6?5?20?15?
6320
s0
由于劳斯表的第一列系数均大于零，故该系统稳定。 也可直接利用基于劳斯判据的三阶系统稳定性结论，如下：
三阶系统特征方程为a3s?a2s?a1s?a0?0，则系统稳定的充分必要条件为：a3、a2、a1、
32a0均大于0及a1a2?a3a0。
对于本系统有：特征方程所有系数均大于零，且6?5?1?20，因此系统稳定。 （4）系统闭环传函为：
?(s)?系统闭环特征方程为
5s?1 543s?3s?2s?5s?1s5?3s4?2s3?5s?1=0
因为特征方程缺相（缺s），故该系统不稳定。 3.9 设单位负反馈系统的开环传递函数分别为 （1）GK(s)?2KK （2）GK(s)? （3）
(s?2)(s?4)s(s?1)(0.2s?1)试确定使系统稳定的开环增益K的取值范围。
解：（1）该系统的闭环传函为：
?(s)?闭环特征方程为：
K
s2?6s?8?Ks2?6s?8?K=0
对于二阶系统，如欲使闭环系统稳定，则保证特征多项式的每个系数都大于零即可：
8+K>0 K>-8
3.11 设单位负反馈系统的开环传递函数为
GK(s)?Ks(s?12)
(s?5)(s?3)(s?6)若要求闭环特征方程根的实部分别小于0、-1、-2，试问K值应怎么选取？
解：该系统的闭环传函为
?(s)?特征方程为
Ks(s?12)
s3?14s2?63s?90?Ks2?12Kss3?(14?K)s2?(63?12K)s?90?0
欲闭环特征方程根的实部小于0、-1、-2，实际上就是使闭环特征方程根具有相应的稳定裕量（? =0、1、2），可利用劳斯判据确定对应的K值。
1） 使闭环特征方程根的实部小于0
即求使系统保持稳定的K值。由系统的闭环特征方程，有
?14?K?0? 即 ?63?12K?0?(14?K)?(63?12K)?90?求得满足条件的K值为
?K??14??K??5.25?K??14.79,or?
K??4.46K??4.46
2） 使闭环特征方程根的实部小于-1
进行坐标变换，令s=z-1，代入闭环特征方程得
z3?(11?K)z2?(38?10K)z?(40?11K)?0
根据劳斯判据，欲使该系统在z域稳定的条件是
?11?K?0?38?10K?0?即 ??40?11K?0??(11?K)?(38?10K)?40?11K则在s域中满足条件的K值为
?K?K???K??K??11??3.8?3.64??13,or
K??2.9?2.9?K?3.64
3）使闭环特征方程根的实部小于-2
进行坐标变换，令s=z-2，代入闭环特征方程得
z3?(K?8)z2?(8K?19)z?(12?20K)?0
根据劳斯判据，欲使该系统在z域稳定的条件是
?K?8?0?8K?19?0?即 ??12?20K?0??(K?8)?(8K?19)?12?20K则在s域中满足条件的K值为
?K??8?K??2.38???K?0.6?o,r?K??11.33
K??1.54?1.54?K?0.6
由以上分析可见，对闭环系统的稳定性要求越高，则系统传递系数的取值范围越小。
3.12 已知单位负反馈系统开环传递函数 （1）GK(s)?2010(s?0.1) （3）GK(s)?22
(0.1s?1)(s?2)s(s?6s?10)试分别求出各系统的静态位置误差系数Kp、静态速度误差系数Kv、静态加速度误差系数Ka；计算当输入信号r(t)?(1?t?t2)?1(t)时的稳态误差essr。
解：
（1）该系统标准的时间常数表达式为
GK(s)?系统为0型系统，则有
10
(0.1s?1)(0.5s?1)Kp=10，Kv=0，Ka=0
输入信号r(t)?(1?t?t2)?1(t)的拉普拉斯表达式为
112R(s)??2?3
sss则系统对应的稳态误差essr为
essr?（3）该系统标准的时间常数表达式为
112???? KpKvKa10s?1
10s2(0.1s2?0.6s?1)GK(s)?该系统为II型系统，则有
Kp=?，Kv=?，Ka=0.1