由题，线性环节的传递函数为：
W(s)?10
(s?1)(0.5s?1)(0.1s?1)将s?j?代入上式，可得其频率特性为：
W(j?)?10
(j??1)(0.5j??1)(0.1j??1)由于线性环节为0型3阶系统，故W?j??曲线起于正实轴的（10, j0）点，幅值单调减小，沿顺时针方向终止于原点，最终相位为-270?，与正虚轴相切，并由Im[W?j??]?0可求得与负实轴的交点为（?0.5, j0）点。
作?11曲线和W?j??曲线，交于D点，如图所示。?自右向左移动，与曲线W(j?)R?A?R?A?1R(A)?有交点，从不稳定区域进入系统稳定区域，交点所对应的极限环是稳定的，系统存在自持振荡。
与曲线W(j?)交点的求取公式如下：
?1?W?j??R(A) 1R?A???W?j??由于
?即：
1??0.065?2?0.1??j(0.005?3?0.16?)
W?j??88?1?23R?A??1????j?0.065??0.1?j(0.005??0.16?) ??2?A?A?A?有
2?81???1????0.065?2?0.1??A?A? ??8??0.005?3?0.16??2??A2利用MATLAB求解此方程组，指令如下
[a,w] = solve('8/3.14/a*sqrt(1-(1/a)^2) =0.065*w^2-0.1','-8/3.14/a^2=0.005*w^3-0.16*w')
Im ?0.5D10?1R(A)??3.84A?2.78??j8Re W(j?)图7.18 题7.8非线性系统稳定判据
排除负根与复数根，得解为：
??3.84?rad/s?A?2.78
即系统有频率??3.84?rad/s?，振幅A?2.78的自振。
注：自持振荡的频率和振幅也可通过相对描述函数（又称基准描述函数）R0()求得，公式如下
aAaR(A)R0()?AKnKnW(j?)??1 aR0() A即将描述函数中部分非线性参数分离出来，乘到线性部分去，描述函数剩余部分的非线性参数都
a1称为负倒相对描述函数?以相对值A的形式出现，Kn称为非线性特性的尺度函数，R0(A) 。
aR0()Aaaa1的特点是：把作为一个变量，则R0()仅是的函数，其函数值与非线性特性的特征参?aAAAR0()A1数M、a无关。显然，KnW(j?)与W(j?)成比例，绘制过程相同，但?的作图过程却比绘
aR0()A制??1和KnW(j?)的相互关系，完全对应于?1和W(j?)的相互关系。负倒相对描述函数R(A)1简单得多。R(A)
本题的基准描述函数为
aR(A)R(A)44?a?R0()???1????jAKn2?A?A2?A?2Kn?M?2 aKnW(j?)?通过KnW(j?)??20
(j??1)(0.5j??1)(0.1j??1)1，所求得的系统自振参数与前面的计算结果完全相同。 aR0() A第8章 离散控制系统的分析和综合
8.1 设时间函数的拉氏变换为X(s)，采样周期Ts=1秒，利用部分分式展开求对应时间函数的z变换X(z)。
（1） X(s)?(s?3)27 （3） X(s)?
s(s?1)(s?2)(s?2)(s2?4s?13)解 （1）将X(s)展成部分分式
X(s)?则其z变换为
1.5?20.5?? ss?1s?2X(z)?1.5z?2z0.5zz(0.831z?0.011) ????1?2z?1z?ez?e?z?1??z?0.368??z?0.135?（3）将X(s)展成部分分式
X(s)?则其z变换为
33s?633(s?2)?2?? s?2s?4s?13s?2(s?2)2?323z3(z2?ze?2cos3)X(z)??
z?e?2z2?2ze?2cos3?e?48.4 设Ts=0.1秒，对图8.56的结构图。求G(z)?C(z)。 R(z)图8.56 题8.4图
解 （a）
1110101?0.10.1?G(s)???2?2?? sss(s?10)s(s?10)sss?10Tsz0.1??0.1z0.1z?1??1?0.1Z??G(s)??Z?2????? ?10Ts2?ssss?10(z?1)z?1z?e????脉冲传递函数为
G(z)?C(z)?0.1z0.1z??1?z?1?Tsz?(1?z?1)?Z??G(s)??????R(z)z?(z?1)2z?1z?e?10Ts??s??
?10Ts?10Ts?10Ts(T?0.1?0.1e)z?(0.1?Tse?0.1e)?s(z?1)(z?e?10Ts)0.0368z?0.0264
z2?1.368z?0.368将Ts=0.1秒代入，整理得
G(z)?（b）
1110110?G(s)????2 sss(s?10)s?2s(s?2)(s?10)?11315111?2?????? 2s10s16s?280s?10111??1??11315Z??G(s)??Z??2?????? ?s2s10s16s?280s?10???? ?系统脉冲传递函数为
1Tsz3z5z??????2(z?12)10z?11z6?e?2Ts1?z
z8?0e?1T0sG(z)??C(z)3z5z1z?1?z?1?1Tsz?(1?z?1)?Z??G(s)???????????R(z)z?2(z?1)210z?116z?e?2Ts80z?e?10Ts??s??
将Ts=0.1秒代入，整理得
0.002z2?0.003z?0.001G(z)?3 2z?2.187z?1.488z?0.301（c）G1(s)?101 ， G2(s)?
s?2s(s?10)?1?e?Tss?(Ts?0.1?0.1e?10Ts)z?(0.1?Tse?10Ts?0.1e?10Ts)G1(z)?Z??G1(s)?? ?10Tss(z?1)(z?e)???1?e?Tss?0.5(1?e?2Ts)G2(z)?Z??G2(s)?? ?2Tssz?e??(Ts?0.1?0.1e?10Ts)z?(0.1?Tse?10Ts?0.1e?10Ts)0.5(1?e?2Ts) G(z)?G1(z)?G2(z)??(z?1)(z?e?10Ts)z?e?2Ts将Ts=0.1秒代入，整理得
G(z)?0.003z?0.002
z3?2.187z2?1.488z?0.301
8.5 求图8.57示各系统的C(z)/R(z)。
图8.57 题8.5图
解 （a）
C(z)?G1(z)G2(z)E(z)
E(z)?R(z)?B(z)
B(z)?G1(z)G2H(z)E(z)
整理得
E(s)B(s)图解8.57（a）
C(z)/R(z)?G1(z)G2(z)
1?G1(z)G2H(z)