最小相位系统的对数相频特性和对数幅频特性的变化趋势相同，即若L(?)的斜率减小（或增大），则?(?)的相位也相应地减小（或增大）；如果在某一频率范围内，对数幅频特性L(?)的斜率保持不变，则在这些范围内，相位也几乎保持不变。因此，系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化，并可直接求取几个典型频率处（如转折频率）的相位，以提高曲线的准确性。如果系统有开环零点，则在相关转折频率处特性曲线出现凹凸。
?(?)/（°） 1 10 100 300 0 ?(?)/（°） 1 10 100 0 －90 －180 －270 ?/ (rad·s－1) ?/ (rad·s－1)
－90 －180 －270 (a) (b) 图5.14 题5.8系统开环对数相频特性
转折频率处相位为：?(1)=－51.7°，?(10)=－131°，?(300)=－223°。 本系统近似的对数相频特性见图5.14(a)。 解：（b）
1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
低频段的斜率为－20dB/dec，该系统为I型系统，v=1。将低频渐近线延长线上的点L(100)=0，代入低频渐近线的表达式L(?)=20lgK－20lg?，可以求出K=100。
2）确定串联的各典型环节
第一个转折频率?1=1rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节
－
1； s?11－
第二个转折频率?2=100rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节；
s?11003）综上所述，该系统的开环传递函数为
GK(s)?4） 绘出近似的对数相频特性
100
1s(s?1)(s?1)100与题（a）的分析相同，本开环系统相频特性满足，?(0)=－90°，?(∞)=－270°。转折频率处相位为：?(1)=－135°，?(10)=－180°，?(100)=－225°。系统的相频特性在每个惯性环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.14(b)。
解：(c)
1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
低频段的斜率为0dB/dec，该系统为0型系统。由20lgK?20，求出K=10。 2）确定串联的各典型环节
第一个转折频率?1=5rad·s1，且斜率减小40dB/dec，有一个二阶振荡环节，其时间常数为
－
T1?1?1?111，由?1?0.2?，此振荡环节为2；
s2s55??12525－
第二个转折频率?1=80rad·s1，且斜率增加40dB/dec，所以有一个二阶微分环节，其时间常数为
1s2s1??1。 T2??，由?2?0.1?，此二阶微分为
106400400?28013）综上所述，该系统的开环传递函数为
10(GK(s)?4） 绘出近似的对数相频特性
121s?s?1)6400400 122s?s?12525本开环系统相频特性满足，?(0)=0°，?(∞)= 0°，转折频率处相位为?(5)=?(80)=－91°。系统的相频特性在每个二阶振荡环节的转折频率处有相应的变化。本系统近似的对数相频特性见图5.15(c)。
?(?)/（°） 0 －90 －180 0 1 10 (d)
100 5 80 ?(?)/（°） ?/ (rad·s－1)
90 45
?/ (rad·s－1) (c)
图5.15 题5.8系统开环对数相频特性
解：(d)
1）由低频段确定系统积分环节的个数v与开环传递系数K
由于低频段的斜率为+20dB/dec，该系统有一个纯微分环节。低频渐近线表达式为L(?)=20lgK+20lg?，将点L(10)=0代入，可求出K=0.1。
2）确定串联的各典型环节
转折频率?=100rad·s1，且斜率减小20dB/dec，有一个惯性环节
－
1s?1100。
3）综上所述，该系统的开环传递函数为
GK(s)?4） 绘出近似的对数相频特性
0.1s
1s?1100同上，本开环系统相频特性满足，?(0)= 90°，?(∞)=0°。系统的相频特性在惯性环节的转折频率处为?(100)=45°。本系统近似的对数相频特性见图5.15(d)。 5.10 已知系统的开环传递函数如下
GK?s??（1）当K=1时，求系统的相位裕量； （2）当K=10时，求系统的相位裕量；
K
s?s?1??0.1s?1?（3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。 解：（1）当K=1时，求系统的相位裕量；
L(?)/dB 40 K=10 b [－20] 20 K=1 a 0.1 1 [－40] 3.16 ωca －Lh= －20dB ωcb 10 100 －
?/ (rad·s1)
－20 －40 [－60] ?(?)/（°） 0.01 －90 ?=39.3? －180 1 ?g 10 100 －?/ (rad·s1)
－270 图5.18 题5.10控制系统的开环伯德图
绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(a)所示。低频段斜率为－20dB/dec，并通过点L(1)=20lgK－20lg1=0dB。经过转折频率?1=1rad·s1后斜率为－40dB/dec，经过转折频率?2=10rad·s1后最终斜率
－
－
为－60dB/dec。
系统的幅值穿越频率?ca=1 rad·s1，代入系统的相频特性有
－
?(?)??90??arctan??arctan0.1?
??180???(?c)?39.3??0?相角穿越频率?g=3.16 rad·s1，可求得系统的幅值裕量为
－
Lh=－L(?g)=20dB>0
因此，闭环系统稳定，并具有较好的稳定裕量。 （2）当K=10时，求系统的相位裕量；
绘制开环伯德图如图5.18对数频率特性(b)所示。相对于对数频率特性(a)，开环传递系数增加10倍， L(?)曲线上升20dB，相频特性保持不变。
系统的幅值穿越频率?cb=3.16 rad·s1，也是系统的相角穿越频率，代入系统的相频特性有
－
??180???(?c)?0?
系统的幅值裕量为
Lh=－L(?g)=－L(?c)=0dB
因此，稳定裕量为零，闭环系统处于临界稳定状态。 （3）分析开环传递系数的大小对系统稳定性的影响。
由以上分析可见，对一结构、参数给定的最小相位系统，当开环传递系数增加时，由于L(?)曲线上升，导致幅值穿越频率?c右移，从而使得相位裕量与幅值裕量都下降，甚至使系统不稳定。
第6章 控制系统的校正
6.8一单位负反馈系统固有部分的传递函数为Go(s)?K，若要求系统的静态速度误
s(s?1)(0.5s?1)差系数Kv=5s?1，相位裕量γ?≥40o，幅值穿越频率?’c≥0.5rad/s，幅值裕量L’h≥10dB。试设计所需串联滞后校正装置的传递函数。
解
（1）求校正前的开环频域指标
K=5时未校正系统的伯德图如图6.3中的曲线Lo（?）所示。低频段过点Lo（1）=20lgK=14dB，且中频段穿越斜率为-60 dB/dec，可见开环对数频率特性不满足稳定性的要求。
由关系
L(2)?14??40?L(2)?2dB
lg2?lg1L(?c)?L(2)??60??c?2.16rad/s
lg?c?lg2未校正系统的相位裕量为
??180??(?90??arctan2.16?arctan(2.16?0.5))??22.4?
系统是不稳定的。若采用超前校正，则需要校正装置提供的相位超前量为
?m??'?????40??22.4??5??67.4??65?
可见校正装置所需提供的相角超前量过大，对抗干扰有不利影响，且物理实现较为困难。同时由于采用超前校正幅值穿越频率会右移，从原系统的相频特性可见，系统在原?c处相位急速下降，需要校正装置提供的相角超前量可能更大，因此不宜采用超前校正。
由于要求的?'c?0.5rad/s在?c?2.16rad/s的左边，所以可以考虑采用串联滞后校正装置。 （2）确定校正后的幅值穿越频率
选择未校正系统伯德图上相位裕量为?0??'???40??8??48?时的频率，作为校正后的幅值穿越频率??c，根据下式确定
?o?180??(?90??arctan?'c?arctan(?'c?0.5))?48?
但直接求解此三角函数是比较困难的，根据题意可将??c=0.5 rad/s代入上式，求得
?0?49.4??48?
故选定??c=0.5rad/s。 （3）确定滞后网络的?值
未校正系统在??c处的对数幅值为
Lo(?'c)?20lg???20lg1?