L(?)/dB 60 40 [-20] Lo(?) 20 14 0 ?2 0.01 [-40] L(?) [-20] [-40] ??c=0.5 1 ?c=2.16 ?2=0.1 ?L?h 2 [-60] －?/ (rad·s1) -20 ?(?)/? LC(?) 0.01 0 -90 0.1 1 －?/ (rad·s1) ?c (?) ? o (?) -180 ? (?) γ?=40? γ=?22.4? -270 Lo(?)-未校正系统; Lc(?)-校正装置; L(?)-校正后系统
?o(?)-未校正系统; ?c(?)-校正装置; ?(?)-校正后系统
图6.3 题6.8系统校正前后的伯德图
根据
Lo(?'c)?20lgK20lg??20lg5???20
lg?'c?lg1lg0.5?lg1可计算出?=10。
(4)确定滞后校正装置转折频率
?2?选?2?1?c'?c' ?~T1051?'c??0.1rad/s，推出T=1/?2=10s，并有?1=1/?T=0.01rad/s。 T5滞后校正装置的传递函数为
Gc(s)?Ts?110s?1?
?Ts?1100s?1(5)校验系统校正后的稳定裕量r'与L?h 校正后系统的开环传递函数为
GK(s)?Gc(s)Go(s)?5(10s?1)
s(s?1)(0.5s?1)(100s?1)r'?180??(?90??arctan(0.5?10)?arctan0.5?arctan(0.5?0.5)?arctan(0.5?100))?40?
满足设计要求。
系统校正前后的频率特性见图6.3。
由于系统的相角穿越频率??g需通过复杂的三角函数才能正确求解，因此幅值裕量一般通过间接的方法验证，方法如下：
系统校正后的相频特性为
?(?)=?90?+ arctan10??arctan??arctan0.5??arctan100?
由图6.3可见，??g在频率范围（1，2）之间，可求得校正后?=1.3rad/s时的相位与对数幅值分别为
?(1.3)= ?179.4?
L(1.3)= ?20lg1/0.5?40lg1.3/1=?10.6（dB）
因此判断出校正后的??g稍大于1.3rad/s，并由系统的频率特性可知，在频率大于1rad/s的范围内，随频率的升高，系统对数幅值与相位均呈下降的趋势，所以必有L（?’g）＜?10.6dB，即L’h>10.6dB，满足设计要求。
幅值裕量的验证也可通过精确的坐标系直接判断，见图6.3。
比较校正前后系统的性能，有
（1）滞后校正装置的负斜率段压缩了系统开环对数幅频特性的中频段，使穿越频率由－40dB/dec变为－20dB/dec，系统的幅值穿越频率?c由2.16rad/s左移到0.5rad/s，利用系统本身的相频特性使系统稳定，并具有40°的相位裕量与足够的幅值裕量。
（2）不影响系统的低频段，不改变系统的稳态精度。 （4）高频段对数幅值下降，抗干扰性能有所提高。
总的来说，系统串联滞后校正装置后，在保证稳态性能的前提下，改善了动态性能。 6.15原系统的开环传递函数为Go(s)?频特性曲线L(?)如图6.10所示。试求：
（1）在原图上绘制所需校正装置的伯德图Lc(?)，求出此装置的传递函数Gc（s），并说明该装置的类型。
（2）简要说明系统校正前后性能的变化。 解： （1）
方法一：绘制系统校正前的频率特性，如图6.11 Lo (?)所示。根据
10，采用串联校正，期望校正以后的开环幅
s(s?1)Lc(?)= L(?)? Lo(?)
绘制系统所需校正装置的伯德图Lc(?)，见图6.11，可见所需装置为超前校正装置，其传递函数Gc（s）的求取过程如下：
校正装置低频段与0dB线重合，斜率为0dB/dec，推出传递系数为
K=1
确定各典型环节： 第一个转折点 第三个转折点
?1=2.2rad/s，斜率增加20db/dec，有一个积分环节
1s?1； 2.2，有一个惯性环节?3=8.8rad/s 斜率减小20dB/dec，
11s?18.8。
因此，校正装置的传递函数Gc（s）为
1s?10.45s?1 Gc(s)?2.2?1s?10.11s?18.8L(?)/dB 40 [-20] L（?） 20 [-40] LC(?) 6 0 0.1 1 2.2 4.47 8.8 [-20] 10 [-40] －?/ (rad·s1)
Lo(?) [-40] Lo(?)-未校正系统，Lc(?)-校正装置，L(?)-校正后系统 图6.11 题6.15系统校正前后的伯德图
方法二：根据图6.10所示系统校正后的期望特性L(?)，推出系统校正后的开环传递函数为
GK(s)?
故所需校正装置为
10(0.45s?1)s(s?1)(0.11s?1)
Gc(s)?（2）系统校正前，幅值穿越频率为
GK(s)0.45s?1?Go(s)0.11s?1
?c=1020/40=3.16rad/s
相位裕量为
??180??90??arctan3.16?17.6?
串联超前校正装置后，开环对数幅频特性的中频段抬高，幅值穿越频率右移，增加了带宽，快速性改善；相位裕量
?'?180??90??arctan4.47?0.45?arctan4.47?arctan4.47?0.11?50.0?
明显增加，系统稳定性改善；高频段对数幅值上升，抗干扰性下降。
第7章 非线性控制系统
7.1 求下列方程的奇点，并确定奇点的类型。
??(1?x2)x??x?0 （1）?x??(0.5?3x2)x??x?x2?0 （2）?x解：（1） 由题得：
???(1?x2)x??x?f?x?,x? x?为因变量，则上式可改写为 ?,x?为解析函数。若以x为自变量，x式中f?x?,x???xf?x? ??xx考虑到
???xdx，因此有 ?dx?xdtdt?,x??f?xdx?
?dxx根据奇点的定义
?0dx?，列方程组为 dx0??0?x ??,x??0?f?x得到系统的奇点为
??0?x ?x?0??,x?进行泰勒级数展开，保留一次项有 即奇点在坐标原点。在奇点（0，0）处，将f?x?,x??,x??f?x?f?x?,x??f?0,0????f?x?x?x?x?x?x??x?0??x?0x?0?(1?x2)??x?x??x?0x??(2xx??1)?x??x?0x?x
奇点附近线性化方程为
???f?x?,x??x??x x其特征方程为
s2?s?1?0
特征根为
?1,2?13 ?j22为s平面的右半部分的共轭复数根，故奇点为不稳定焦点。概略画出奇点附近的相轨迹如图7（a）所示：
（2）由题得：
???(0.5?3x2)x??x?x2?f?x?,x? x由
??0?x ??,x??0?f?x得到
??0?x ??x?0或?1即奇点为（0，0）和（-1，0）。
?x?xxx（a） （b）
图7.71 题7.1 奇点附近的相轨迹
?,x?进行泰勒级数展开，保留一次项有 1）在奇点（0，0）处，将f?x?,x??,x??f?x?f?x?,x??f?0,0????f?x?x?x?x?x?x??x?0??x?0x?(0.5?3x2)??1??xx2x?x?0??(?6xx??1?2x)x?x?x ??x?0奇点（0，0）附近线性化方程为：