【分析】由题意可得，该表示为七进制，运用进制转换，即可得到所求的十进制数．
【解答】解：由题意满七进一，可得该图示为七进制数， 化为十进制数为1×73+3×72+2×71+6×70=510． 故答案为：510．
【点评】本题考查计数的方法，注意运用七进制转化为十进制数，考查运算能力，属于基础题．
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． （Ⅰ）求图中a的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分和中位数（要求写出计算过程，结果保留一位小数）．
【分析】（1）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1，能求出a=0.005． （2）利用频率分布直方图的性质能求出这100名学生语文成绩的平均分和中位数．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）由频率分布直方图中小矩形有面积之和为1，得：
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10（2a+0.02+0.03+0.04）=1， 解得a=0.005．
（2）这100名学生语文成绩的平均分为：
55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）
∵这100名学生语文成绩在[50，70）的频率为（0.005+0.04）×10=0.45， 这100名学生语文成绩在[70，80）的频率为0.03×10=0.3， ∴这100名学生语文成绩的中位数为：70+10×
≈71.7（分）．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查频率、平均数、中位数的求法，考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、转化能力、数据处理能力，是基础题．
18．（12分）设二项式（x﹣B，若B=4A，求a的值．
【分析】利用二项式展开式的通项公式求出展开式中x3的系数A和常数项B， 关键B=4A求得a的值． 【解答】解：二项式（x﹣
?x6﹣r?
）6（a＞0）展开式的通项公式为
）6（a＞0）的展开式中x3的系数为A，常数项为
Tr+1=
=（﹣a）r?
?， ?a2=15a2；
令r=2，得展开式中x3的系数为A=令r=4，得展开式中常数项为B=由B=4A可得a2=4， 又a＞0，所以a=2．
?a4=15a4，
【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式应用问题，是基础题．
19．（12分）设抛物线C：y2=2x的焦点为F，直线l过F与 C交于A，B两点，若
=3
，求直线l的方程．
【分析】设直线l的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算即可求得m的值，求得直线l的方程．
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【解答】解：抛物线C：y2=2x的焦点为F（，0） 设直线则
，由
，可得m≠0设A（x1，y1），B（x2，y2）， =（x2﹣，y2），
=（﹣x1，﹣y1），
由=3
，所以y1=﹣3y2，由
，
整理得y2﹣2my﹣1=0，则
，且y1=﹣3y2，
得∴直线
，解得， ．
【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理及向量的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．
20．（12分）男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ （1）男运动员3名，女运动员2名； （2）至少有1名女运动员； （3）队长中至少有1人参加； （4）既要有队长，又要有女运动员．
【分析】（1）本题是一个分步计数问题，首先选3名男运动员，有C63种选法．再选2名女运动员，有C42种选法．利用乘法原理得到结果．
（2）至少1名女运动员包括以下几种情况：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．分别写出这几种结果，利用分类加法原理得到结果．本题也可以从事件的对立面来考虑，写出所有的结果减去都是男运动员的结果数．
（3）只有男队长的选法为C84种，只有女队长的选法为C84种，男、女队长都入选的选法为C83种，把所有的结果数相加．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法．不选女队长时，必选
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男队长，共有C84种选法．其中不含女运动员的选法有C54种，得到结果． 【解答】解：（1）由题意知本题是一个分步计数问题， 首先选3名男运动员，有C63种选法． 再选2名女运动员，有C42种选法． 共有C63?C42=120种选法．
（2）法一（直接法）：“至少1名女运动员”包括以下几种情况： 1女4男，2女3男，3女2男，4女1男．
由分类加法计数原理可得有C41?C64+C42?C63+C43?C62+C44?C61=246种选法． 法二（间接法）：“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”．
从10人中任选5人，有C105种选法，其中全是男运动员的选法有C65种． 所以“至少有1名女运动员”的选法有C105﹣C65=246种．
（3）“只有男队长”的选法为C84种； “只有女队长”的选法为C84种； “男、女队长都入选”的选法为C83种； ∴共有2C84+C83=196种．
∴“至少1名队长”的选法有C105﹣C85=196种选法．
（4）当有女队长时，其他人选法任意，共有C94种选法． 不选女队长时，必选男队长，共有C84种选法． 其中不含女运动员的选法有C54种， ∴不选女队长时共有C84﹣C54种选法．
既有队长又有女运动员的选法共有C94+C84﹣C54=191种．
【点评】本题考查分步计数原理，考查分类计数原理，在比较复杂的题目中，会同时出现分类和分步，本题是一个比较综合的题目．
21．（12分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥
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A1B1，D为棱A1B1上的点． （1）证明：DF⊥AE；
（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若存在，说明点D的位置，若不存在，说明理由．
？
【分析】（1）先证明AB⊥AC，然后以A为原点建立空间直角坐标系A﹣xyz，则能写出各点坐标，由⊥AE；
（2）通过计算，面DEF的法向量为可写成=（3，1+2λ，2（1﹣λ）），又面ABC的法向量=（0，0，1），令|cos＜，＞|=
，解出λ的值即可．
与
共线可得D（λ，0，1），所以
?
=0，即DF
【解答】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1， 又∵AC?面A1ACC1，∴AB⊥AC，
以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1）， 设D（x，y，z），则 D（λ，0，1），所以∵
=（0，1，），∴
?
且λ∈[0，1]，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0）， =（=
，，﹣1），
=0，所以DF⊥AE；
．
（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：
设面DEF的法向量为=（x，y，z），则
，
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