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x2?2mx?4m?8?0时，有
2m?2m2?4m?8x??m?(m?2)2?4 2由题意，(m?2)2?4为完全平方数，令(m?2)2?4?n2 即(n?m?2)(n?m?2)?4
∵m,n为整数， ∴n?m?2,n?m?2的奇偶性相同 ∴??n?m?2?2?n?m?2??2或?
?n?m?2?2?n?m?2??2?m?2?m?2解得?或?
n?2n??2??综合得m?2
（2011年广东茂名市）如图，⊙P与y轴相切于坐标原点O（0，0），与x轴相交于
点A（5，0），过点A的直线AB与y轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．
（1）已知AC=3，求点Ｂ的坐标； （４分）
（2）若AC=a, D是OＢ的中点．问：点O、P、C、D四点
是否在同一圆上？请说明理由．如果这四点在同一圆
上，记这个圆的圆心为O1，函数y?y
χ
k的图象经过点x第24题图O1，求k的值（用含a的代数式表示）． （４分） 解：（1）解法一：连接OC，∵OA是⊙P的直径，∴OC⊥AB，
在Rt△AOC中，OC?OA2?AC2?25?9?4，1分
在 Rt△AOC和Rt△ABO中，∵∠CAO=∠OAB ∴Rt△AOC∽Rt△
ABO，····························2分 ∴
ACAO?，即COOB35?， ····················3分 4OB2020 ∴OB? ， ∴B(0,)····················4
33分
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解法二：连接OC，因为OA是⊙P的直径， ∴∠ACO=90°
在Rt△AOC中，AO=5，AC=3，∴OC=4， ············1分
过C作CE⊥OA于点E，则：即：
11?OA?CE??CA?OC， 2211?5?CE??3?4，∴2212，·························2分 51216∴OE?OC2?CE2?42?()2? ∴
551612C(,)，·········3分 55设经过A、C两点的直线解析式为：y?kx?b．
1612 把点A（5，0）、C(,)代入上式得：
554?k???5k?b?0???3， ?1612 ， 解得：?20k?b???b?5?5?3?20420 ∴y??x? ， ∴点B(O,) ．·4
333CE?分
（2）点O、P、C、D四点在同一个圆上，理由如下：
连接CP、CD、DP，∵OC⊥AB，D为OB上的中点， ∴
CD?1OB?OD， 2∴∠3=∠4，又∵OP=CP，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，
∴PC ⊥CD，又∵DO⊥OP，∴Rt△PDO和Rt△PDC是同以PD为斜边的直角三角形，∴PD上的中点到点O、P、C、D四点的距离相等，
∴点O、P、C、D在以DP为直径的同一个圆上； ·······6分 由上可知，经过点O、P、C、D的圆心O1是DP的中点，圆心O1(由（1）知：Rt△AOC∽Rt△ABO，∴
中，
OPOD,)， 2225ACOA?，求得：AB=，在Rt△ABO
aOAABOA51525?a2525?a2OP?? ，OD=OB?，OB?AB?OA?2222aak5525?a2∴O1(,)，点O1在函数y?的图象上，
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525?a24k∴， ∴?4a52525?a2． ················8分 k?16a
（2011年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点Ａ(0，
4)，B(1，0)，C（5，0），抛物线对称轴l与x轴相交于点M．
（1）求抛物线的解析式和对称轴； （3分）
（2）设点P为抛物线（x?5）上的一点，若以A、O、M、P为顶点的四边形四条边
的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点P的坐标； （2．．．．分）
（3）连接AC．探索：在直线AC下方的抛物线上是否存在一点N，使△NAC的面积最
大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请你说明理由． （3分） 解：
25、解：（1）根据已知条件可设抛物线的解析式为
y?a(x?1)(x?5)，············1分
把点A（0，4）代入上式得：a?
44224416第25题图 2x?4?(x?3)?， ∴y?(x?1)(x?5)?x?···········2
55555分
x?3． ∴抛物线的对称轴是：······································3
分
（2）由已知，可求得P（6，4）． ···································5
分 提示：由题意可知以A、O、M、P为顶点的四边形有两条边AO=4、OM=3，又知点P的坐标中x?5，所以，MP>2,AP>2；因此以1、2、3、4为边或以2、3、4、5为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、6的一种情况，在Rt△AOM中，
4， 5
AM?OA2?OM2?42?32?5，因为抛物线对称
轴过点M，所以在抛物线x?5的图象上有关于点A的对
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称点与M的距离为5，即PM=5，此时点P横坐标为6，即AP=6；故以A、O、M、P为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、6成立， 即P（6，
4）．···································5分
（注：如果考生直接写出答案P（６，４），给满分2分，但考生答案错误，
解答过程分析合理可酌情给1分）
⑶法一：在直线AC的下方的抛物线上存在点N，使△NAC面积最大．
设N点的横坐标为t，此时点N(t,t2?4524t?4)5（0?t?5)，过点N作NG∥y轴交AC于G；由点A（0，4）和点C（5，0）可求出直线AC的解析式为：
44y??x?4；把x?t代入得：y??t?4，则
554G(t,?t?4)，
544224t?4）， 此时：NG=?t?4-（t?5554220t．=?t? ······································７
55分
11420525NG?OC?(?t2?t)?5??2t2?10t??2(t?)2? 225522525∴当t?时，△CAN面积的最大值为，
22554224t?4??3，∴N由t?，得：y?t?（， -3）． ········ 8
2255∴S?ACN?分
法二：提示：过点N作x轴的平行线交y轴于点E，作CF⊥EN于点F，则
S?ANC?S梯形AEFC?S?AEN?S?NFC
（再设出点N的坐标，同样可求,余下过程略）
（2011年凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，且x1?x2，
与y轴交于点C?0,?4?，其中x1，x2是方程x2?4x?12?0的两个根。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MN∥BC，交AC于点N，连接CM，当△CMN的面积最大时，求点M的坐标；
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（3）点D?4,k?在（1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F，使以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标，若不存在，请说明理由。
y 228．（1）∵x?4x?12?0，∴x1??2，x2?6。
∴A(?2,0)，B(6,0)。····················1分
又∵抛物线过点A、B、C，
故设抛物线的解析式为y?a(x?2)(x?6)，
A N O M B x 1。 3124 ∴抛物线的解析式为y?x?x?4。········3
33将点C的坐标代入，求得a?C 28题图
分
（2）设点M的坐标为（m，0），过点N作NH?x轴于点H（如图（1））。 ∵点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（6,0) ∴AB?8，
AM?m?2。···························4分
∵MN?BC，∴△MN∥△ABC。
NHAMNHm?2??，∴，∴COAB48m?2NH?。·················5分
211CO?AM?NH ∴S△CMN?S△ACM?S△AMN??AM?221m?21?(m?2)(4?)??m2?m?3 ······6224∴
分
y 1??(m?2)2?4。
4∴当m?2时，S△CMN有最大值4。
此时，点M的坐标为（2，0）。··············7
分
（3）∵点D（4，k）在抛物线y?F1 A E O F2 B x D 图（2）
124x?x?4上， 33∴当x?4时，k??4，
∴点D的坐标是（4，?4）。
如图（2），当AF为平行四边形的边时，AFy DE，
E? A E? F3 O D 图（3）
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