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∵D（4，?4），∴E（0，?4），DE?4。 ∴F1(?6,0)，F2(2,0)。 ··········9分 ① 如图（3），当AF为平行四边形的对角线时， 设F(n,0)，则平行四边形的对称中心为
n?2，0）。·················10分 2∴E?的坐标为（n?6，4）。
14把E?（n?6，4）代入y?x2?x?4，得n2?16n?36?0。
33（
解得 n?8?27。
F3(8?27,0)，F4(8?27,0)。····
（株洲市2011年）24．（本题满分10分）孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和
同学们一起研究某条抛物线y?ax2(a?0)的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题： （1）若测得OA?OB?22（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作
BF?x轴于点F，测得OF?1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标； ．．．（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的
连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．
yOxABEOyFBx
图1 图24.解： （1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点， A? OA?OB?22，?AOB?90?， ?AC?OC?BC?2，?B(2，?2) ??? 2
分
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将B(2，?2)代入抛物线y?ax2(a?0)得，a??分
（2）解法一：过点A作AE?x轴于点E，
1. ??? 321?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4
2分
1. 又? ?AOB?90?，易知?AOE??OBF，又?AEO??OFB?90?， 2AEOF1?△AEO∽△OFB，????2 ?AE?2OE ??? 5yOEBF12?BF?分 EOFx121212B设点A（?m，?m）（m?0），则OE?m，AE?m，?m?2m 222?m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分 解法二：过点A作AE?x轴于点E，
1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4分
A2OF1?tan?OBF???2
BF1 2? ?AOB?90?，易知?AOE??OBF， AE?tan?AOE?tan?OBF?2，?AE?2OE ??? 5分 ?OE121212设点A（-m，?m）（m?0），则OE?m，AE?m，?m?2m
222?m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分 解法三：过点A作AE?x轴于点E，
1?点B的横坐标为1，?B (1，?)， ??? 4分
212设A（-m，?m）（m?0），则
215111OB2?12?()2?，OA2?m2?m4，AB2?(1?m)2?(??m2)2，
24422? ?AOB?90??AB2?OA2?OB2，
1111?(1?m)2?(??m2)2?(1?m)2?(??m2)2，
2222解得：m?4，即点A的横坐标为?4. ??? 6分
1212（3）解法一：设A（?m，?m）（m?0），B（n，?n）（n?0），
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12??mk?b??m (1) ??2设直线AB的解析式为：y?kx?b， 则?，??? 7分
?nk?b??1n2 (2) ??211(1)?n?(2)?m得，(m?n)b??(m2n?mn2)??mn(m?n)，
221 ?b??mn ??? 8分
2AEOE0.5m2m??又易知△AEO∽△OFB，?，?，?mn?4??? 9分 OFBFn0.5n21?b???4??2.由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，?2）???10分
2（说明：写出定点C的坐标就给2分）
1212解法二：设A（?m，?m）（m?0），B（n，?n）（n?0），
22直线AB与y轴的交点为C，根据S?AOB?S梯形ABFE?S?AOE?S?B0F?S?AOC?S?BOC，可
得
11212111111?(n?m)(m?n)??m?m2??n?n2??OC?m??OC?n， 2222222221化简，得OC?mn. ??? 8分
2AEOE0.5m2m??又易知△AEO∽△OFB，?，?，?mn?4??? 9分2OFBFn0.5n?OC?2为固定值.故直线AB恒过其与y轴的交点C（0,?2）??? 10分 说明：mn的值也可以通过以下方法求得.
141412122222222由前可知，OA?m?m，OB?n?n，AB?(m?n)?(?m?n)，
4422141412122222由OA2?OB2?AB2，得：(m?m)?(n?n)?(m?n)?(?m?n)，
4422化简，得mn?4.
本答案仅供参考，若有其他解法，请参照本评分标准
123（2011年桂林市）26．（本题满分12分）已知二次函数y??x?x的图象如图.
42（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；
（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴，y轴的交点分别为A、B、C三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；
（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M，以AB为直径，D为圆心作⊙D，试判断
直线CM与⊙D的位置关系，并说明理由.
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26．（本题满分12分） 解: （1）由y??123bx?x得 x???3 ????1分 422a∴Ｄ（３，０）????2分
（2）方法一:
如图1, 设平移后的抛物线的解析式为
13y??x2?x?k ????3分
42则C(0,k) OC=k 令y?0 即 ?123x?x?k?0 42得 x1?3?4k?9 x2?3?4k?9 ????4分 ∴A(3?4k?9,0)，B(3?4k?9,0)
∴AB2?(4k?9?3?3?4k?9)2?16k?36???5分
AC2?BC2?k2?(3?4k?9)2?k2?(3?4k?9)2
?2k2?8k?36????????6分
∵AC2?BC2?AB2 即: 2k2?8k?36?16k?36
得 k1?4 k2?0(舍去) ?????7分
∴抛物线的解析式为y??
方法二: ∵ y??123x?x?4 ?????8分 42123?9?x?x ∴顶点坐标?3,? 42?4?全国中考信息资源门户网站 www.zhongkao.com
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设抛物线向上平移h个单位,则得到C?0,h?,顶点坐标M?3,分
??9??h?????34?192?x?3???h????????4分 44192当y?0时, ??x?3???h?0, 得 x1?3?4h?9 x1?3?44∴平移后的抛物线: y??∴ A(3?4h?9,0) B(3?4h?9,0)????????5分 ∵∠ACB=90° ∴△AOC∽△COB ∴OC2?OA·OB????????6分
4h?9h2??4h?9?3??4h?9?3 得 h1?4,h2?0?舍去?????7分
1912522?x?3???4???x?3??????8分 4444?∴平移后的抛物线: y??
（3）方法一:
如图2, 由抛物线的解析式y??123x?x?4可得 4225A(-2 ，0)，B(8，0) ，C(４，0) ，M(3,) ????9分
4过C、M作直线，连结CD，过M作MH垂直y轴于H, 则MH?3
2∴DM?(252625)? 416CM2?MH2?CH2?32?(25225?4)2? 416在Rt△COD中,CD=32?42?5=AD ∴点C在⊙D上 ???????10分
2∵DM?(252625)? 416225252625CD2?CM2?52??()? ??11分
16416∴DM2?CM2?CD2
∴△CDM是直角三角形，∴CD⊥CM
∴直线CM与⊙D相切 ????12分
方法二:
如图3, 由抛物线的解析式可得
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