22．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．
23．（12分）（2013?郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．
24．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．
例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”． （1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数
（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点
D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式；
第6页（共28页）
（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．
2
25．（14分）（2012?黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值； （2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
第7页（共28页）
2014年四川省绵阳市南山中学自主招生数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2006?镇江）下列计算正确的是（ ）
22324
A．3x﹣2x=1 B．x?x=x C．2x+2x=2x D．（﹣a）=﹣a 【解答】解：A、错误，应为3x﹣2x=x；
2
B、x?x=x，正确；
C、错误，应为2x+2x=4x；
D、错误，应为（﹣a）=a=a． 故选B．
【点评】本题考查了合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方的性质，合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的次数不变．
2．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，抛物线y=ax+bx+c，OA=OC，下列关系中正确的是（ ）
2
3
2
3×2
6
A．ac+1=b
B．ab+1=c
C．bc+1=a
D．+1=c
【解答】解：由抛物线与y轴相交于点C，就可知道C点的坐标为（0，c），又因OC=OA，
22
所以A（﹣c，0），把它代入y=ax+bx+c，即ac﹣bc+c=0，两边同时除以c，即得到ac﹣b+1=0，所以ac+1=b，故本题选A．
【点评】根据抛物线与x轴，y轴的交点判断交点坐标，然后代入函数式，推理a，b，c之间的关系． 3．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，MN是圆柱底面的直径，MP是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点M，P有一条绕了四周的路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿MP剪开，所得的侧面展开图可以是（ ）
第8页（共28页）
A． B． C． D．
【解答】解：根据两点之间线段最短，剪开后所得的侧面展开图中的金属丝是线段，且从P点开始到M点为止， 故选：D．
【点评】本题着重考查学生对立体图形与平面展开图形之间的转换能力，与课程标准中“能以实物的形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物的形状”的要求相一致，充分体现了实践操作性原则．要注意空间想象哦，哪一个平面展开图对面图案都相同． 4．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6 B．3 C．2 D．1
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB=OD，∠EDB=∠CBD； ∵∠EOD=∠FOB， ∴△EOD≌△FOB； ∴S△BOF=S△DOE；
∴S阴影=S△BOF+S△AOE+S△COD=S△AOE+S△EOD+S△COD=S△ACD； ∵S△ACD=AD?CD=3；
∴S阴影=3；故选B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质以及图形面积的求法． 5．（3分）（2006?绍兴）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A、D、C在坐标轴上，点F在AB上，点B、E在函数y=（x＞0）的图象上，则点E的坐标是（ ）
A．（
D．（
，
，
）
B．（）
，
）
C．（
，
）
第9页（共28页）
【解答】解：∵四边形OABC是正方形，点B在反比例函数y=（k≠0）的图象上， ∴点B的坐标为（1，1）． 设点E的纵坐标为y， ∴点E的横坐标为：1+y， ∴y×（1+y）=1， 即y+y﹣1=0， 即y=∵y＞0， ∴y=
，
=
． =
，
2
∴点E的横坐标为1+
故选A．
【点评】本题结合坐标考查了反比例函数的性质，注意结合图形，灵活运用反比例函数知识解决问题． 6．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，已知直线y=3x+b与y=ax﹣2的交点的横坐标为﹣2，根据图象有下列3个结论：①a＞0；②b＞0；③x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2的解集．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由图象可知，a＞0，故①正确； b＞0，故②正确；
当x＞﹣2是直线y=3x+b在直线y=ax﹣2的上方，即x＞﹣2是不等式3x+b＞ax﹣2，故③正确． 故选D．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质以及与一元一次不等式的关系，要熟练掌握． 7．（3分）（2014?涪城区校级自主招生）如图，圆锥的母线AB=6，底面半径CB=2，则其侧面展开图扇形的圆心角α的度数为（ ）
第10页（共28页）