22．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知：如图，在△ABC中，AB=BC，D是AC中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F．
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）当BD=6，sinC=时，求⊙O的半径．
【解答】（1）证明：连接OE， ∵AB=BC且D是AC中点， ∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD， ∴∠ABE=∠DBE， ∵OB=OE
∴∠OBE=∠OEB， ∴∠OEB=∠DBE， ∴OE∥BD， ∵BD⊥AC， ∴OE⊥AC，
∵OE为⊙O半径， ∴AC与⊙O相切．
（2）解：∵BD=6，sinC=，BD⊥AC， ∴BC=10， ∴AB=BC=10，
设⊙O 的半径为r，则AO=10﹣r， ∵AB=BC， ∴∠C=∠A， ∴sinA=sinC=， ∵AC与⊙O相切于点E， ∴OE⊥AC， ∴sinA=∴r=
，
=
=，
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答：⊙O的半径是．
【点评】本题考查了平行线的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，切线的性质和判定的应用，解（1）小题的关键是求出OE∥BD，解（2）小题的关键是得出关于r的方程，题型较好，难度适中，用了方程思想． 23．（12分）（2013?郴州）如图，△ABC中，AB=BC，AC=8，tanA=k，P为AC边上一动点，设PC=x，作PE∥AB交BC于E，PF∥BC交AB于F． （1）证明：△PCE是等腰三角形；
（2）EM、FN、BH分别是△PEC、△AFP、△ABC的高，用含x和k的代数式表示EM、FN，并探究EM、FN、BH之间的数量关系；
（3）当k=4时，求四边形PEBF的面积S与x的函数关系式．x为何值时，S有最大值？并求出S的最大值．
【解答】（1）证明：∵AB=BC， ∴∠A=∠C， ∵PE∥AB， ∴∠CPE=∠A， ∴∠CPE=∠C，
∴△PCE是等腰三角形；
（2）解：∵△PCE是等腰三角形，EM⊥CP， ∴CM=CP=，tanC=tanA=k， ∴EM=CM?tanC=?k=同理：FN=AN?tanA=
， ?k=4k﹣
，
由于BH=AH?tanA=×8?k=4k，
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而EM+FN=+4k﹣=4k，
∴EM+FN=BH；
（3）解：当k=4时，EM=2x，FN=16﹣2x，BH=16，
所以，S△PCE=x?2x=x，S△APF=（8﹣x）?（16﹣2x）=（8﹣x），S△ABC=×8×16=64， S=S△ABC﹣S△PCE﹣S△APF，
22
=64﹣x﹣（8﹣x），
2
=﹣2x+16x，
2
配方得，S=﹣2（x﹣4）+32， 所以，当x=4时，S有最大值32．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，锐角三角函数，二次函数的最值问题，表示出各三角形的高线是解题的关键，也是本题的难点． 24．（12分）（2014?涪城区校级自主招生）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图象上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图象的“伴侣正方形”．
例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个“伴侣正方形”． （1）如图1，若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数
（k＞0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，点
2
2
D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数的解析式； 2
（3）如图3，若某函数是二次函数y=ax+c（a≠0），它的图象的“伴侣正方形”为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4），请你直接写出该二次函数的解析式．
【解答】解：（1）（I）当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时： 正方形ABCD的边长为．
（II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时： 设正方形边长为a，易得3a=， 解得a=
，此时正方形的边长为
或
． ；
∴所求“伴侣正方形”的边长为
（2）如图，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F， 易证△ADE≌△BAO≌△CBF．
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∵点D的坐标为（2，m），m＜2， ∴DE=OA=BF=m， ∴OB=AE=CF=2﹣m． ∴OF=BF+OB=2，
∴点C的坐标为（2﹣m，2）． ∴2m=2（2﹣m），解得m=1． ∴反比例函数的解析式为y=；
（3）实际情况是抛物线开口向上的两种情况中，另一个点都在（3，4）的左侧，而开口向下时，另一点都在（3，4）的右侧，与上述解析明显不符合
a、当点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，点C坐标为（3，4）时：另外一个顶点为（4，1），对应的函数解析式是y=﹣x+
2
；
b、当点A在x 轴正半轴上，点 B在 y轴正半轴上，点D 坐标为（3，4）时：不存在， c、当点A 在 x 轴正半轴上，点 B在 y轴负半轴上，点C 坐标为（3，4）时：不存在 d、当点A在x 轴正半轴上，点B在y轴负半轴上，点D坐标为（3，4）时：另外一个顶点C为（﹣1，3），对应的函数的解析式是y=x+
2
；
e、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（7，﹣3）时，对应的函数解析式是y=﹣
x+
2
；
f、当点A在x轴负半轴上，点B在y轴负半轴上，点C坐标为（3，4）时，另一个顶点D的坐标是（﹣4，7）时，对应的抛物线为y=x+； 故二次函数的解析式分别为：y=x+
2
2
或y=﹣x+
2
或y=﹣x+
2
或y=x+．
2
【点评】本题考查的是反比例函数综合题，比较复杂，先要正确理解伴侣正方形的意义，特别要注意的是正方形的顶点所处的位置，因为涉及到相关点的坐标，所以过某一点作坐标轴的垂线是必不可少的，再利用正方形的性质和全等三角形的知识确定相关点的坐标即可求解．
25．（14分）（2012?黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧． （1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；
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（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标； （4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得： 2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．
（2）令y=0，即
（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，
∴B（﹣2，0），C（4，0） 在C1中，令x=0，得y=2， ∴E（0，2）． ∴S△BCE=BC?OE=6．
（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．
如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）． 设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=当x=1时，y=，∴H（1，）．
（4）分两种情形讨论：
①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示． 则
2
x+2，
，
∴BC=BE?BF．
由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°， ∴∠CBF=45°，
作FT⊥x轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°， ∴BT=TF．
∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上， ∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m）， ∵x+2＞0，
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