目 录
绪 论 ................................................................................................ 1
内容简介 ................................................................................................................................... 1
第一章 预备知识 .................................................................................. 2
引言........................................................................................................................................... 2 § 1.1 三维欧氏空间中的标架 ......................................................................................................... 2
一、向量代数复习 ................................................................................................................... 2 二、标架 ................................................................................................................................... 3 三、正交标架流形 ................................................................................................................... 3 四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 ........................................................................... 3 § 1.2 向量函数 ............................................................................................................................... 4
第二章 曲线论 ...................................................................................... 6
§ 2.1 参数曲线 ............................................................................................................................... 6 § 2.2 曲线的弧长 ........................................................................................................................... 8 § 2.3 曲线的曲率和Frenet标架 ................................................................................................. 9 § 2.4 曲线的挠率和Frenet公式 ............................................................................................... 13 § 2.5 曲线论基本定理 ................................................................................................................. 15 §2.7 存在对应关系的曲线偶 ...................................................................................................... 21 §2.8 平面曲线 .............................................................................................................................. 21
绪 论
几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry”就是“土地测量”.
Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.
《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.
对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法.
微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用. 内容简介
第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.
1
第一章 预备知识
本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时
难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群
引言
为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数y?f(x)的图像是xy平面上的一条曲线，二元函数z?f(x,y)的图像是空间中的一张曲面.
yy?f(x)z?f(x,y)z?x,f(x)??x,y,f(x,y)?Oxx(x,y)Oy 采用参数方程，空间一条曲线可以表示成
??r?r(t)??x(t),y(t),z(t)?.
这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.
所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.
§ 1.1 三维欧氏空间中的标架
一、向量代数复习 ??????向量即有向线段：AB，r，r. 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0. 反向量：
??a.
向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘.
??????内积的定义：ab:?|a||b|cos?(a,b) 外积的定义.
??????????????????二重外积公式：(a?b)?c?(a?c)b?(b?c)a；a?(b?c)?(a?c)b?(a?b)c
??a?b?b?a 内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.
2
二、标架
仿射标架O;OA,OB,OC. 定向标架.
?????????????????正交标架(即右手单位正交标架)：?O;i,j,k?. 笛卡尔直角坐标系. 坐标.
内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间E3和R3.
三、正交标架流形
??????取定一个正交标架O;i,j,k(绝对坐标系). 则任意一个正交标架?P;e1,e2,e3?被P点的
???坐标和三个基向量?e1,e2,e3?的分量唯一确定：
????????OP?a1i?a2j?a3k,??????e1?a11i?a12j?a13k,? (1.6) ?????e2?a21i?a22j?a23k,??????e3?a31i?a32j?a33k.??其中a?(a1,a2,a3)可以随意取定，而aij(i,j?1,2,3)应满足
?ak?13ikajk??ij， (1.7)
即过渡矩阵A??aij?是正交矩阵. 又因为e1,e2,e3是右手系，detA?1，即矩阵
???a12a22a32?a11A??a21??a?31a13?a23??SO(3) (1.8, 1.9) ?a33??是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：
???{正交标架}??E3?SO(3)，?P;e1,e2,e3???(a,A).
所以正交标架的集合是一个6维流形.
四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换
Q?k?j?e3?e2PO?i?e1
??????O;i,j,k和?P;e1,e2,e3?中的坐标分别为(x,y,z)和空间任意一点Q在两个正交标架
?? 3
?,y?,z?)，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式： (x?11?ya?21?za?31,?x?a1?xa??12?ya?22?za?32, (1.10) ?y?a2?xa?z?a?xa?13?ya?23?za?33.?3如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这
种运动称为刚体运动.
???(Q)QQ?k?j?e3?e2P??(O)O?i33?e1
??????在刚体运动?:E?E下，若?将正交标架O;i,j,k变为?P;e1,e2,e3?，则空间任意
?????,y?,z?)(均为在O;i,j,k中的坐标)之间的关系式为 一点Q(x,y,z)和它的像点Q(x??????a1?xa11?ya21?za31,?x???a2?xa12?ya22?za32, (1.11) ?y?z???a3?xa13?ya23?za33.定理1.1 E3中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于E3中的任意两个正交标架，必有E3的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.
空间E3到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换?:E?E称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).
仿射坐标变换与仿射变换.
33§ 1.2 向量函数
所谓的向量函数是指从它的定义域D到R中的映射r:D?R:p?r(p). 设有定义在区间[a,b]上的向量函数
3?3?a?t?b.
?如果x(t),y(t),z(t)都是t的连续函数，则称向量函数r(t)是连续的；如果x(t),y(t),z(t)都是t??的连续可微函数，则称向量函数r(t)是连续可微的. 向量函数r(t)的导数和积分的定义与数值函
数的导数和积分的定义是相同的，即
?r(t)?(x(t),y(t),z(t)),???r(t0??t)?r(t0)dr?lim ?t?0dtt?t0?t4
?x(t??t)?x(t0)y(t0??t)?y(t0)z(t0??t)?z(t0)??lim?0,,? ?t?0?t?t?t????x?(t0),y?(t0),z?(t0)?，t0?(a,b)， (2.6)
?ban??r(t)dt?lim?r(ti?)?ti???0i?1??bax(t)dt,?y(t)dt,?z(t)dt， (2.7)
aabb?其中a?t0?t1???tn?b是区间[a,b]的任意一个分割，?ti?ti?1?ti，ti??[ti?1,ti]，并且
??max??ti|i?1,2,?,n?. (由向量加法和数乘的定义可以得到)
向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.
由(1.6)可得
?????????a(t)?b(t)?a?(t)?b?(t),(t)????(t)a(t)??(t)a?(t). ??(t)a???定理2.1 (Leibniz法则) 假定a(t),b(t),c(t)是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、
??混合积的导数有下面的公式：
????????(1) ?a(t)?b(t)??a(t)?b(t)?a(t)?b?(t)；
???????(2) ?a(t)?b(t)??a?(t)?b(t)?a(t)?b?(t)；
?????????????(3) ?a(t),b(t),c(t)???a?(t),b(t),c(t)???a(t),b?(t),c(t)???a(t),b(t),c?(t)?.
定理2.2 设a(t)是一个处处非零的连续可微的向量函数，则
??????(2) 向量函数a(t)的方向不变当且仅当a(t)?a(t)?0.
??(3) 设a(t)是二阶连续可微的. 如果向量函数a(t)与某个固定的方向垂直，那么
??? ?a(t),a?(t),a??(t)??0.
????反过来，如果上式成立，并且处处有a(t)?a?(t)?0，那么向量函数a(t)必定与某个固定的方向垂直.
(1) 向量函数a(t)的长度是常数当且仅当a(t)?a?(t)?0.
??????a(t)?a?(t)?0.
2?证明 (1) 因为?|a(t)|???a(t)a(t)???2a(t)a?(t)，所以|a(t)|是常数?|a(t)|是常数
2???????????1????a(t). 则a(t)?f(t)b(t)，
?其中f(t)?|a(t)|连续可微. 于是
???????a(t)?a?(t)??f(t)b(t)???f?(t)b(t)?f(t)b?(t)??f2(t)b(t)?b?(t),?t.
???????????“?”由条件知b(t)?c是常向量，b(t)?c?0. 从而a(t)?a(t)?0.
??????“?”由条件得b(t)?b?(t)?0，所以b(t)，b?(t)处处线性相关. 因为b(t)是单位向量，
????????1处处非零，所以b?(t)??(t)b(t). 用b(t)作内积，得?(t)?b(t)?b?(t)?2b(t)?b(t)?0. 于????是b?(t)?0，b(t)?c是常向量.
????(3) 设向量函数a(t)与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量e1使得a(t)?e1?0. 求导得
??????????到a?(t)?e1?0，a??(t)?e1?0. 从而a(t),a?(t),a??(t)共面，?a(t),a?(t),a??(t)??0.
(2) 因为a(t)处处非零，取a(t)方向的单位向量b(t)?|a(t)|?? 5