????证明 选取E中的刚体运动?将C2在s?0处的Frenet标架r2(0);?2(0),?2(0),?2(0)变
????为C1在s?0处的Frenet标架r1(0);?1(0),?1(0),?1(0). 则这个刚体运动?将C2变为正则曲
??线C3. 设C3的弧长参数方程为r3?r3(s). 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，C13????与C3也有相同的曲率和挠率函数：
?1(s)??3(s)，?1(s)??3(s).
且在s?0处它们有相同的Frenet标架：
????????r1(0)?r3(0),?1(0)??3(0),?1(0)??3(0),?1(0)??3(0).
????????令?r1(s);?1(s),?1(s),?1(s)?和?r3(s);?3(s),?3(s),?3(s)?分别为C1和C3的Frenet标架.
则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题
???r(0)?r1(0),????????,(0)???1(0), (5.6) (5.7) ????????????,??(0)??1(0),?????(0)???1(0).????.??根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有r1(s)?r3(s)，即C1与C3重合. □
注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：
???r??????????????????,??r(s)??x(s),y(s),z(s)?，?(s)???1(s),?2(s),?3(s)?， ???(s)???1(s),?2(s),?3(s)?，?(s)???1(s),?2(s),?3(s)?.
初始条件为：
?x(0),y(0),z(0)??r1(0)?(a1,a2,a3)，??1(0),?2(0),?3(0)??(a11,a12,a13)， ??1(0),?2(0),?3(0)??(a21,a22,a23)，??1(0),?2(0),?3(0)??(a31,a32,a33).
3?r(t),C:r?r(u)定理5.2设C1:r是中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为E11222?????零. 如果存在三次以上的连续可微函数u??(t)(t?[a,b])，??(t)?0，使得这两条曲线的弧长
函数、曲率函数和挠率函数之间满足
s1(t)?s2(?(t)),?1(t)??2(?(t)),?1(t)??2(?(t))， (5.4) 则有E3中的一个刚体运动?将C1变成C2.
证明 不妨设??(t)?0. 对C2作可允许参数变换u??(t)，可将C2的参数方程写成
t????r3(t)?r2(?(t)). 则C1的弧长为s1(t)??|r1(?)|d?，C2的弧长为 a?t?tdr?(t)?2??s3(t)??|r3(?)|d???|?(?)|d???r2?(?)d??s2(?(t)).
aa?(a)du由条件，可取s?s1(t)?s3(t)?s2??(t)作为C1和C2的弧长参数. 因为s1(t)?s3(t)有相同的反
函数t??(s)，即??s1?s3?(s2??)?1?1?1?1?1???1?s2，????s2. 于是
?1?1(s)??1?s1?1(s)??1??(s)??2?????(s)??2?s2(s)??2(s).
同理，?2(s)??1(s) 根据定理5.1，有E中的一个刚体运动?将C1变成C2. □
3s1[a,b]?1R[0,l]s2
??[a1,b1]16
?2
定理5.3 (存在性定理) 设?(s),?(s)是定义在区间[a,b]上的任意二个给定的连续可微函数，并且?(s)?0. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的E3中的正则曲线C:r?r(s)，s?[a,b]，使得s是C的弧长参数，且分别以给定的函数?(s)和?(s)为它的曲率和挠率.
证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.
考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：
????dr?ds???d??ds???d??ds??d???ds???,???r(0)?r0,?????,??(0)???0, (5.6) ??? (5.7)
????(0)??0,???????,????(0)???0.?????.?根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[a,b]上的解. 取(5.6)的满足初始条件
的解，其中?O;i,j,k?是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记
???????????r(0)?0,?(0)?i,?(0)?j,?(0)?k (5.7)’
????????e1??,e2??,e3??,gij?eiej, (5.9)
?a11a12a13??0?0??a21a22a23?????0??. (5.5) ?aaa??0??0???313233??????????因为r,e1,e2,e3是(5.6)的解，所以r?r(s)是三阶连续可微的. 下面来证明r?r(s)就是所
要求的曲线. 由(5.6)可得
?dr??e1,ds首先来证明
?3dei???aijej,i?1,2,3 (5.6)’ dsj?1gij(s)??ij,i,j?1,2,3. (5.10)
由(5.6)得
??333dedei??j??????ej?ei??aikekej??ajkeiek??(aikgkj?ajkgki)， dsdsdsdsk?1k?1k?1??由初始条件(5.7)’可知有gij(0)?ei(0)ej(0)??ij，i,j?1,2,3. 这说明9个函数gij(s)满足一阶
dgij线性常微分方程组初值问题
??d(eiej)dFijds??(aikFkj?ajkFki)，Fij(0)??ij，i,j?1,2,3.
k?13另一方面由(5.5)可知aij??aji，i,j?1,2,3. 于是9个函数Fij(s)??ij也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有gij(s)?Fij(s)??ij.
因此e1(s),e2(s),e3(s)是两两正交的单位向量. 从而混合积?e1(s),e2(s),e3(s)???1. 但是函数f(s)??e?是连续的，并且由初始条件得f(0)??e1(0),e2(0),e3(0)??1. 1(s),e2(s),e3(s)所以e1(s),e2(s),e3(s)构成右手系.
17
????????????????dr?????现在，由(5.6)’可知?e1?1. 所以r?r(s)是正则曲线，并且s是C:r?r(s)的弧长
ds??参数，?(s)?e1(s)是C的单位切向量场. 由(5.6)第2式及?(s)?0可知C的曲率为?(s)，主
???????法向量场为?(s)?e2(s). 最后，因为e1(s),e2(s),e3(s)是右手单位正交基，所以?(s)?e3(s)是
???次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C的挠率为??(s)?(s)??(s). □
例 求曲率和挠率分别是常数?0?0，?0的曲线C的参数方程.
解 我们已经知道圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt)的曲率和挠率都是常数，分别为
?abab和. 根据定理5.1，曲线一定是圆柱螺线. 由和????0解C022222222a?ba?ba?ba?b??出a?202，b?202. 因此所求曲线C的参数方程为
?0??0?0??01?r(t)?2?cost,?0sint,?0t?. 2?0?0??0t2222因为C的弧长参数s?a?bt?，将上式中的t换成?0??0s就可得到C的弧长
?02??02参数方程：
?r(s)?1?0cos22?0??0???02??02s,?0sin??22?02??02s,?0?0??0s. □
??课外作业：习题1，4，6
§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开
对于定义在区间[a,b]上的n次连续可微的函数f(x)，可以在区间(a,b)内任意一点x0邻近展开为Taylor展式：
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?12!f??(x0)(x?x0)2???1n!f(n)(x0)(x?x0)n?o(x?x0)n.
同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线r?r(s),s?(??,?)，可在s?0处展开为
??????(0)?r(s)?r(0)?sr其中o(s)是一个向量函数，满足
?12!???13???s2??r(0)?3!sr(0)?o(s3)， (6.1)
3?o(s3)?lim3?0. (6.2) s?0s?????????(0)???(0)??(0)?(0),???(0)???2(0)??(0)?(0)??(0)?(0)?(0) (6.3) r(0),?rr(0)??代入(6.1)得
由Frenet公式可得
?03????023??????????02?r(s)?r(0)??s?s??(0)??s?s??(0)?00s3?(0)?o(s3)，
6?6?6?2??0???(0),?0??(0). 其中?0??(0),?以s?0处的Frenet标架?r(0);?(0),?(0),?(0)?建立右手直角坐标系，则曲线C在s?0附近的参数方程为
???? 18
??0233x?s?s?o(s),1?6??03?02??3?y?s?s?o2(s), (6.4)
26??0?03?3z?s?o(s).3?6???上式称为曲线C:r?r(s)在s?0处的标准展开式.
????在标架?r(0);?(0),?(0),?(0)?下，考虑C的近似曲线
?02????????02?0?03??C1:r1(s)??s,s,s??r(0)?s?(0)?s?(0)?00s3?(0). (6.5)
626?2?????近似曲线C1与原曲线C在s?0处有相同的Frenet标架?r(0);?(0),?(0),?(0)?，有相同的曲率
???0和相同的挠率?0. 这是因为s是C1的一般参数，并且r1(0)?(0,0,0)?r(0)，
????????????r1(0)?(1,0,0)??(0)，r1(0)?(0,?0,0)??0?(0)，r(0)?(0,0,??)????10000(0)，
从而
??r1?(0)??????????(0)???0?(0)???0?(0)， r1?(0)?1，?1(0)????(0)，r1?(0)?r1?(0)r1?(0)?????r1?(0)?r1?(0)?r1?(0)?r1?(0)???????0，?1(0)?r1?(0)?r1?(0)???(0)???(0)， ，??01?3???r1(0)?r1(0)r1?(0)??????r1?(0)?r1??(0)?r1??(0)?02?0?????2??0. ?1(0)??1(0)??1(0)??(0)??(0)??(0)，?1(0)??2??0???r1(0)?r1(0)在s?0邻近，近似曲线C1的性状近似地反映了原曲线C的性状. 近似曲线C1的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.
?0?0??0?r(0)?0??0?
19
在密切平面上的投影是抛物线：x?s,y??02s2,z?0，在从切平面上的投影是三次曲线：
x?s,y?0,z??0?06s3，在法平面上的投影是半三次曲线：x?0,y??????02s2,z???????0?06s3. ?定义 设两条弧长参数曲线C1:r1(0)?r2(0). 1?r1(s),C2:r2?r2(s)相交于p0，Op0?rp0p1??p0p2??s. 若有正整数n使得 取p1?C1,p2?C2，使得?????|p1p2||r1(?s)?r2(?s)||r1(?s)?r2(?s)|lim?lim?0，lim?0， (6.9) ?s?0?sn?s?0?s?0?sn?sn?1则称C1与C2在p0处有n阶切触.
定理6.1 设两条弧长参数曲线C1:r1?r1(s),C2:r2?r2(s)在s?0处相交. 则它们在
????s?0处有n阶切触的充分必要条件是
????r1(k)(0)?r2(k)(0)，k?1,2,?,n，r1(n?1)(0)?r2(n?1)(0). (6.10)
证明 在s?0处，有?s?s?0?s. 因为C1,C2在s?0处相交，所以r1(0)?r2(0). 根据Taylor公式，
n?1s?(k)???n?2?(k)r1(s)?r2(s)????o(s). ?r(0)?r(0)12??k?1k!k??sn?1?(n?1)???n?2?(n?1)?o充分性. 由(6.10)，r1(s)?r2(s)???r(0)?r(0)2?(s)，所以
(n?1)!?1???1o(sn?2)|p1p2|r1(s)?r2(s)??(n?1)(n?1)lim?lim?lim|s|?n?1?0， ?r1(0)?r2(0)???nn?s?0s?0s?0(n?1)!s?ss?n?2??1o(s)|p1p2|r1(s)?r2(s)??(n?1)(n?1)lim?lim?lim?0. ???r(0)?r(0)12??n?1n?1?s?0?sn?1s?0s?0(n?1)!ss即C1,C2在s?0处有n阶切触.
??必要性. 由条件，C1,C2在s?0处有n阶切触，则n?1. 如果r1?(0)?r2?(0)，则
??|p1p2|r1(s)?r2(s)??lim?lim?r1?(0)?r2?(0)?0， ?s?0s?0?ss从而lim|p1p2|?0，矛盾. 设m?1是满足
?s?0?sn????r1(k)(0)?r2(k)(0)，k?1,2,?,m，r1(m?1)(0)?r2(m?1)(0)
n的正整数. 由充分性，C1,C2在s?0处有m阶切触. 由条件得m?n，故(6.10)成立. □ 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor展开式中的前n?1项之和(即略去(?s)的高阶无穷小)至少有n阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触.
(2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.
曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线C:r?r(s)上一点r(s)处的密切平面上，以曲率中心
????1?1r(s)??(s)为圆心，以曲率半径R?为半径的圆. 它的方程是：
?(s)?(s)
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