??????1?1X(t)?r(s)??(s)?cost?(s)?sint?(s)?. ??(s)?(s)曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略) 课外作业：习题2，3
§2.7 存在对应关系的曲线偶
??u?(t)?0. 对曲线C2作参数变换，可设C2:r2?r2(t)，从而C1,C2之间的一一对应就是参数相
同的点之间的一一对应.
定义7.1 如果两条互不重合的曲线C1,C2之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.
设两条正则参数曲线C1:r1?r1(t),C2:r2?r2(u)之间存在一个一一对应关系t?u?(t)，
?????nC1C2C2?C1????注 在平面上，每一条正则曲线C:r?r(s)??x(s),y(s)?都有侣线，构成Bertrand曲线偶.
??(s),y?(s)?是C的单位切向量场，?(s)是C的曲率.证明 设s是C的弧长参数，?(s)??x??(s),x?(s)?. 取充分小的非零实数?使得|??(s)|?1,?s?[0,b]. 则 令n(s)???y???C1:r(s)?r(s)??n(s) 1是曲线C的侣线.
????. 于是C的曲率 ?//?. 设n??n. 因此nr??(s)|?|????(s)|?|?|. ?(s)?|?x2(s)???y2(s)?|nx(s),??y(s)?|???r当常数?充分小时，
???0，n??n. 另一方面由n??0可知?2?y?2?????1，所以nn事实上，因为n?n?x????????????????????r1(s)?[1???r(s)]?(s)?0，
所以C1是正则参数曲线. 因为??0，所以曲线C和C1不重合.
现在来证明在对应点C和C1有相同的主法线. 在相同的参数s点处，C的主法线l是过
??r(s)(的终)点且垂直于?(s)的直线，所以l的方程为
?????X(u)?r(s)?un(s)，u?R.
????r(s)//?(s)的直线. 所以(s)同理，在相同的参数s点处，C1的主法线l1是过r点且垂直于11??l//l1(因为它们都垂直于?(s)). 由定义可知r1(s)在直线l上，所以l与l1重合. □
21
下面考虑空间挠曲线，即挠率??0的曲线.
定理7.1 设C1和C2是Bertrand曲线偶. 则C1和C2在对应点的距离是常数，并且C1和C2在对应点的切线成定角.
??????证明 设曲线C1的弧长参数方程为r1?r1(s)，Frenet标架为?r1(s);?1(s),?1(s),?1(s)?，曲
?率和挠率分别为?1(s)和?1(s). 因为C1和C2之间存在一一对应，设C2上与r1(s)对应的点是
??????r2?r2(s)，s是C2的一般参数，C2的Frenet标架为?r2(s);?2(s),?2(s),?2(s)?，曲率和挠率分
??s?(s). 别为?2(s)和?2(s). 再设C2的弧长参数为s???????X(u)?r(s)?u?(s)由条件，r2(s)在曲线C1上的点r处的主法线11(s)上，所以1?????//?(s)r(s)?r(s)?(s)???，并且?2?1112(s). 因此可设
?????r2(s)?r1(s)??(s)?1(s)，?2(s)???1(s)， (7.3)
???其中???1是常数，?(s)??1(s)?r2(s)?r1(s)?是可微函数. ???????? s(s)?2(s)??1(s)??(s)?1(s)??(s)[??(s)?1(s)??(s)?1(s)]
?????[1??(s)?(s)]?1(s)??(s)?1(s)??(s)?(s)?1(s). (7.4)
??以?2???1分别与上式两边作内积，可得??(s)?0，?(s)?c是常数. 再由(7.3)得
???|r2(s)?r1(s)|?|?(s)?1(s)|?|c|，
即C1和C2在对应点的距离是常数|c|(?0，因为C1和C2不重合).
设?(s)??(?1(s),?2(s))，则?1(s)?2(s)?cos??(s)?. 因为 将(7.3)两边对s求导，利用Frenet公式，得
????????d?????????1?2???1?2?2???2s???1?1?0， ??1?2???1?1?2??2sds所以cos??(s)?是常数，从而?(s)是常数. □
定理7.2 设正则曲线C的曲率?和挠率?都不为零. 则C是Bertrand曲线的充分必要条件是：存在常数?,?，且??0，使得??????1.
????????长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设?r(s);?(s),?(s),?(s)?和?r1(s);?1(s),?1(s),?1(s)?(7.4)分别成为
证明 必要性. 设曲线C有侣线C1，它们的参数方程分别是r(s)和r1(s)，其中s是C的弧
???是C1的弧长参数. 现在(7.3)和分别是C和C1的Frenet标架，?1,?1分别是C1的曲率和挠率，s?????r1(s)?r(s)???(s)，?1(s)???(s)， (7.3) ?????(s)?1(s)?[1???(s)]?(s)???(s)?(s). (7.5) s其中??0是常数. 因此由??0得
??(s)|?[1???(s)]2?[??(s)]2?0，s??(s)??1[1???(s)]2?[??(s)]2， |s其中?1??1也是一个常数.
由定理7.1，?(s)?1(s)?c是常数. 用?(s)与(7.5)两边作内积，得
???c?1[1???(s)]2?[??(s)]2?1???(s)?(1?c2)[1???(s)]2?c2[??(s)]2.
由??(s)?0可知(1?c)?0，从而
21???(s)??c?:??
2?(s)1?c是常数. 这就是说，存在常数??0,?，使得??????1.
22
充分性. 设正则弧长参数曲线C:r?r(s)的曲率?和挠率?满足??????1，其中?,?是常数，且??0. 令r1(s)?r(s)???(s)，则
????????????r(s)?[1???(s)]?(s)???(s)?(s)??(s)[??(s)???(s)]?0. 1??所以由参数方程r1?r1(s)定义的曲线C1是正则曲线，并且与曲线C不重合(因为??0).由于?r1??|?|?2??2，曲线C1的单位切向量场
????1(s)??[sin??(s)?cos??(s)]，
其中??arctan(?/?)是常数，满足
sin??????22，cos??????22.
??ds??d?1?1?1???(sin???cos??)?.
ds?ds?如果sin???cos???0，则有?1???，从而曲线C1是C的侣线，C1和C是Bertrand
??(s)曲线偶(在参数s相同的点，C1和C得主法线有相同方向，并且r在r(s)处的主法线上). 1如果sin???cos???0，则?????. 结合??????1可知?和?都是非零常数，C是
圆柱螺线，从而是Bertrand曲线. □
定义7.2 如果两条曲线C1,C2之间存在一个一一对应，使得曲线C1在任意一点的切线正好是C2在对应点的法线(即垂直于C2在该点的切线)，则称曲线C2是C1的渐伸线. 同时称曲线C1是C2的渐缩线.
?是C1的弧长参数，利用Frenet公式，有 设sC2s?0C1s?cs?l??定理7.3 设C:r?r(s)是正则弧长参数曲线. 则C的渐伸线的参数方程为
???r(s)?r(s)?(c?s)?(s). (7.7) 1证明 设渐伸线C1上与r(s)对应的点为r1(s). 则r1(s)在曲线C上r(s)点处的切线上，故有函数???(s)使得
????????????0?r(s)?(s)?[?(s)??(s)?(s)??(s)?(s)?(s)]?(s)?1???(s). 1由此得??(s)??1，?(s)?c?s. 代入(7.8)即得(7.7). □
23
?由渐伸线的定义，r1(s)??(s)，所以
?????r(s)?r(s)??(s)?(s). (7.8) 1曲线C的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C的切线曲面?上. 定理7.4设C:r?r(s)是正则弧长参数曲线. 则C的渐缩线的参数方程为
??1?1???r(s)?r(s)??(s)?tan??(s)ds?(s). (7.10) 1?(s)?(s)???证明 设渐缩线C1上与r(s)对应的点为r1(s)?r(s)]?r(s)??(s)，可设 1(s). 由定义，[r????r(s)?r(s)??(s)?(s)??(s)?(s). (7.11) 1求导得
????????????????r1(s)??(s)??(s)?(s)??(s)[??(s)?(s)??(s)?(s)]??(s)?(s)??(s)?(s)?(s)
??? ?[1??(s)?(s)]?(s)?[??(s)??(s)?(s)]?(s)?[??(s)??(s)?(s)]?(s).
??????????(s)//[r(s)?r(s)]??(s)?(s)??(s)?(s)r(s)?[?(s)?(s)??(s)?(s)]?0，因为r，所以111即有
?(s)?(s)?1，?(s)[??(s)??(s)?(s)]??(s)[??(s)??(s)?(s)]. (7.12)
所以?(s)?1/?(s)，且由(7.12)第2式得
????????????(???)?，??arctan????，??(s)???(s)tan??(s)ds.
???22??所以有(7.10). □
课外作业：习题4，8
§2.8 平面曲线
本节研究平面曲线的特殊性质.
一、平面曲线的Frenet标架
??在平面E上取定一个正交标架(右手直角标架)?O;i,j?. 则平面曲线C的弧长参数方程为
? r(s)?(x(s),y(s))， s?[a,b. ] (8.1)
2它的单位切向量为
?(s),y?(s)???cos(?(s)),sin(?(s))?， (8.2) ?(s)??x其中?(s)??(i,?(s))是由i到?(s)的有向角(允许相差2?的整数倍)，逆时针方向为正. 当区间[a,b]是闭区间时，函数?(s)可以成为定义在整个[a,b]上的连续可微函数.
????????将?(s)右旋?/2，得到与?(s)正交的单位向量?(s)， ?????(s)??cos(?(s)??2),sin(?(s)?2)????sin(?(s)),cos(?(s))????y(s),x(s)?. (8.3)
???这样，得到沿曲线C的(平面)Frenet标架?r(s);?(s),?(s)?.
yC?(s)?s?0s?lO
24
?i?x,f(x)???(s)x
二、平面曲线的Frenet公式
???????由于?(s)是单位切向量场，有????0，故?//?，可设
??? ?(s)??r(s)?(s)， (7.4)
其中
??(s)y?(s)x???(s),x?(s)??x(s),??y(s)????y ?r(s)??(s)??(s)???? (7.5)
??x(s)??y(s)称为曲线C的相对曲率. 曲线C的曲率为?(s)?|?r(s)|. ?r(s)的符号的几何意义见图2-8.
利用(7.4)得到平面曲线的Frenet公式
??????r,????? ????r?, (7.6)
???????????r.???1因此曲线C的曲率中心为r(s)??r(s)?(s)，这也是的渐缩线方程.
三、相对曲率的几何意义
由(7.2)，(7.3)和(7.4)可得
d?(s)d?(s)????r(s)?(s)??(s)???sin(?(s)),cos(?(s))???(s). dsds因此
?r(s)?即相对曲率是有向角?(s)对弧长的变化率.
?d?(s)， (7.7) ds四、平面曲线论基本定理
定理 (平面曲线论基本定理) 设?r(s)是区间[a,b]上的连续可微函数. 则在不计E2的一个刚体运动的情况下，存在唯一的平面曲线C:r?r(s)，s?[a,b]，它以s为弧长参数，以给定的函数?r(s)为相对曲率.
证明 存在性. 取s0?[a,b]. 令
???(s)???r(?)d?，s?[a,b].
s0s再令
x(s)??cos??(?)?d?，y(s)??sin??(?)?d?，s?[a,b].
s0s0?则平面曲线C:r(s)??x(s),y(s)?，s?[a,b]满足：以s为弧长参数，以?r(s)为相对曲率.
?????2曲率. 令?r1;?1,?1?为C1的Frenet标架，?1(s)??(i,?1(s)). 通过E的一个刚体运动，可设
唯一性. 设另有一条平面曲线C1:r1(s)??x1(s),y1(s)?也以s为弧长参数，以?r(s)为相对
ss??1(s0)?0，x1(s0)?0，y1(s0)?0.
?????????r11??cos?1,sin?1???cos?,sin????x,y??r.
????(s)?(0,0)?r(s)r(s)?r(s)，?s?[a,b]. □ 再由r得到1001
25
??????及?(s)?0??(s)可知?(s)??(s). 从而 由?1r1001五、旋转指标定理
??虽然有向角?(s)??(i,?(s))允许相差2?的整数倍，但是有向角的总变差?(b)??(a)是
??不变的. 事实上，若?(s)也是由i到?(s)的有向角，则?(s)??(s)?2k(s)?. 由于?(s)和?(s)都是连续函数，k?k(s)必为常数(因为闭区间[a,b]是连通的). 从而
?(b)??(a)??(b)??(a)，
即总变差与有向角函数?(s)连续分支的取法无关. 由(7.7)可知总变差为
?(b)??(a)???r(s)ds. (7.9)
ab光滑闭曲线，分段光滑曲线，简单闭曲线，旋转指标
定理7.2 (旋转指标定理) 若C是平面上一条连续可微的简单闭曲线，则它的旋转指标为i(C)??1.
若C是分段光滑的简单闭曲线，指标定理仍然成立. 但(7.9)右端要加上在各角点的外角和. 即若s1?s2???sn是曲线C的角点(不光滑点)，则
(2?)i(C)??(b)??(a)???r(s)ds???j， (7.11)
aj?ibn其中
?j???(sj?0),?(sj?0). (7.12)
课外作业：习题1(2, 4, 6)，3，5
?? 26