?(s)|ds??(s)ds. (3.4) ??|? ds所以
???ds?， (3.5) ?sds即曲率?是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比.
?????(s)?0. 所以曲率向量??(s)是曲线的一个法向量场. 如果在一点由|?(s)|?1可知?(s)???????(s)|?1??(s)???1(s)??(s)称为曲线在该点的主法向量场. 于是s处?(s)?0，则向量?(s)?|? ??在该点有
??? ?(s)??(s) (3.6) ?s(. )在?(s)?0处，令
?(s)??(s)??(s). (3.7)
它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(副法向量场).
???????这样，在正则曲线上?(s)?0的点，有一个完全确定的正交标架r(s);?(s),?(s),?(s)，
??称为曲线在该点的Frenet标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.
注意. 如果在一点s0处?(s0)?0，则一般来说无法定义在该点的Frenet标架. 1. 若?(s)?0，则C是直线，可以定义它的Frenet标架.
???(s)??ss2. 若0是?的孤立零点, 则在0的两侧都有Frenet标架. 如果?0?(s0)，则可以将
Frenet标架延拓到s0点.
3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.
切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.
次法线从切平面 切线 ?(s)?(s)?(s)??法平面 ??r(s)密切平面 主法线
切线：?(u)?r(s)?u?(s)；主法线：?(u)?r(s)?u?(s)；次法线：?(u)?r(s)?u?(s) 法平面：[X?r(s)]?(s)?0；从切平面：[X?r(s)]?(s)?0；密切平面：[X?r(s)]?(s)?0
在一般参数t下，曲率?和Frenet标架的计算方法.
11
???????????????????????????|r?(t)?r??(t)|?r?(t)?，，???(t)???????|r?(t)|3|r?(t)|?????r?(t)?r??(t)，?????. (3.13) ??|r?(t)?r??(t)|证明. 设s?s(t)为弧长参数，t?t(s)为其反函数. 则由(2.4)，
s?(t)?故
ds??|r?(t)|. dt??dr(s(t))ds(t)?r?(t)?????. (3.12) r?(t)??|r?(t)|?(s(t))?(s??)(t),?(t):??(s(t))??dsdt|r?(t)|?????????由曲率?的定义，??|?|?0，可知主法向量???满足????. 上式再对t求导，得 ?||????d?d?ds????2r???s????s??s????s??s????s???.
dtdsdt于是
?????????23?????????r?r?(s?)?(s??s??)?s?????s?3???|r??r??|?s?3?. ??????|r?(t)?r??(t)||r?(t)?r??(t)|r?(t)?r??(t)?所以??. 代入上式得???. □ ???|r?(t)?r??(t)|s?3|r?(t)|3?例3.1 求圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt),(t?R)的曲率和Frenet标架，其中a?0.
解. r?(t)?(?asint,acost,b)，r??(t)??(acost,asint,0)，|r?(t)|?所以
???a2?b2，
????r??r???(absint,?abcost,a2)?a(bsint,?bcost,a)，|r??r??|?aa2?b2. ??1|r?(t)?r??(t)|a??(t)?(?asint,acost,b)， ，????22|r?(t)|3a2?b2a?b??1?r?(t)?r??(t)????(bsint,?bcost,a)， ?22|r?(t)?r??(t)|a?b?????????(?cost,?sint,0). □ 维维安尼(Viviani)曲线一般方程222??x?y?z?1,?22??x?y?x.z参数方程?x?cos2t,??y?costsint,t?[0,?]?z?sint.?xy 222??x?y?z?1,例3.2 求维维安尼(Viviani)曲线?2在(0,0,1)点处的曲率和Frenet标架. 2??x?y?x解法1. 将曲线写成参数方程，r(t)?(cost,costsint,sint)，t?R. 点(0,0,1)对应的参
12 ?2?2k?，其中k为整数. 不妨设t??/2.
?r?(t)?(?2sintcost,cos2t?sin2t,cost)?(?sin2t,cos2t,cost)，
?r??(t)?(?2cos2t,?2sin2t,?sint).
于是当t??/2时，
??????r?(0,0,1),r??(0,?1,0),r???(2,0,?1)，|r?|?1,r??r???(1,0,2)，
???1?1???(0,?1,0)，??5(1,0,2)，??????5(2,0,?1).
???所以在(0,0,1)点处的曲率??5，Frenet标架为r?(0,0,1)，??(0,?1,0)，??15(2,0,?1)，???15(1,0,2). □
数为t??2解法2. 设曲线的弧长参数方程为x?x(s),y?y(s),z?z(s)，s?(??,?)，点(0,0,1)应的参数为s?0. 则有 以及
对
?r(0)?(x(0),y(0),z(0))?(0,0,1)， (1)
?x2(s)?y2(s)?z2(s)?1,?22?x(s)?y(s)?x(s)?0,?s?(??,?). (3.14) ?2?(s)?y?2(s)?z?2(s)?1,?x求导得到
?(s)?y(s)y?(s)?z(s)z?(s)?0,?x(s)x??(s)?2y(s)y?(s)?x?(s)?0, (3.15) ?2x(s)x?x?(s)???(s)??x(s)?yy(s)?zz(s)?0.??(s)???(0)?z?(0)??1. 通过改变曲线的正方向，可设?(0)?0，y令s?0，由(1)和上述方程组得到x?(0)?1，于是 y??(0),y?(0),z?(0))?(0,1,0). (3.16) ?(0)?(x对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得
x(s)?y(s)??y(s)?z(s)??z(s)??1,?x(s)?? (3.17) ?22?(s)?2y(s)???(s)???x(s)?2xy(s)?2yx(s)?0.?2x(s)???(0)?0；由(1)和(3.17)第1式得??(0)??1；再由(3.17)第2式得令s?0，由(3.15)和(3.16)得?zy??x(0)?2. 所以
???(0)???(0)?(??(0),??(0),??(0))?(2,0,?1). ?rxyz????(0)|?5，Frenet标架为：r由此得r(0)?(0,0,1)处的曲率?(0)?|?(0)?(0,0,1)；
?????1?1??(0)?(0,1,0)，?(0)??(0)?(0)?5(2,0,?1)，?(0)??(0)??(0)?15(?1,0,?2). □
课外作业：习题1(2,4)，4，7
§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式
?|，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 密切平面对弧长s的变化率为|???????定义4.1 函数??????，即?(s)???(s)??(s)称为曲线的挠率.
??????????????注. 由????0，????????????(??)?0可知?//?. 因此可设 ??? ?????， (4.1)
??|，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度. 从而|?|?|?
13
?定理4.1 设曲线C不是直线，则C是平面曲线的充分必要条件是它的挠率??0. 证明. 设曲线C的弧长参数方程为r?r(s)，s?[0,L]. 因为C不是直线，??0(见定理3.2 )，存在Frenet标架?r;?,?,??.
????????????“?” 设C是平面曲线，在平面?:(X?a)n?0上，其中a是平面上一个定点的位置向???量，n是平面的法向量，a和n均为常向量. 则有
???(r(s)?a)n?0,?s?[0,L].
求导得
??????(s)n?0,?(s)?(s)n?0??(s)n?0,?s.
???????????|?0. 即有于是?(s)//n, 由于|?(s)|?|n|?1，所以?(s)??n是常向量，从而??0，|?|?|???0.
???????“?”设??0. 由(4.1)得??????0. 所以?(s)?c?0是常向量. 由
d???????(s)c(r(s)c)?r??(s)?(s)?0 ds??????可知r(s)c是一个常数，即r(s)c?r(s0)c，其中s0?[0,L]是固定的. 于是曲线C上的点满足
?????平面方程[r(s)?r(s0)]c?0，其中r(s0)是平面上一个定点的位置向量，c是平面的法向量. □
设正则曲线C上存在Frenet标架. 对Frenet标架进行求导，得到Frenet公式
??????r,??????,??????? (4.8) ????,???????????????.??上式中的后三式可以写成矩阵的形式
??????0???????????????0?????????0?????0?????. (4.9)
????????0??????作为Frenet公式的一个应用，现在来证明
定理4.2 设曲线r?r(s)的曲率?(s)和挠率?(s)都不为零，s是弧长参数. 如果该曲线落
在一个球面上，则有
???1??1d?1??2????a， (4.10) ?????????ds????其中a为常数.
证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a，球心是r0，即有
22???(s)?r0??r求导得到
这说明r(s)?r0垂直于?(s)，可设 再求导，利用Frenet公式得
2?a2. (4.11)
?????(s)?r0??(s)?0. ?r????r(s)?r0??(s)?(s)??(s)?(s). (4.12)
??(s)?(s)??(s)[??(s)?(s)??(s)?(s)]???(s)?(s)??(s)?(s)?(s). ?(s)?????比较两边?,?,?的系数，得
14
??????????，??????， (4.13) ????1，?其中略去了自变量s. 所以
?1d??1d?1??????，?????. (4.14)
??ds?ds????1将(4.12)两边平方可得?????r?r0??a，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □
222??2注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得
?d?1d?1???????0. (4.16) ?ds??ds?????在一般参数下挠率的计算公式.
???(r?,r??,r???)????2. (4.18)
|r??r??|ds??|r?(t)|，利用Frenet公式，有 dt?dsdr??r?(t)??s?(t)?(s(t))，
dtds???2r??(t)?s??(t)?(s(t))?s?(t)?(s(t))?(s(t))，
?d?(s(t))???2r???(t)?s???(t)?(s(t))?3s?(t)s??(t)?(s(t))?(s(t))?s?(t)?(s(t)) dt???s?3(t)?(s(t))[??(s(t))?(s(t))??(s(t))?(s(t))].???3于是r?(t)?r??(t)?s?(t)?(s(t))?(s(t))，从而
?????????(t),r??(t),r???(t)??r?(t)?r??(t)?r???(t)?s?3(t)?(s(t))?(s(t))?r???(t)?r证明. 因为s?(t)??s?(t)?(s(t))?(s(t)).??622由(3.13)可知s?(t)?(s(t))?|r?(t)?r??(t)|，代入上式即得(4.18). □
?????定理4.3 曲线r?r(t)是平面曲线的充要条件是(r?,r??,r???)?0. □
?例 求圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt)的挠率.
解. r?(t)?(?asint,acost,b)，r??(t)??(acost,asint,0)，|r?(t)|?62
???a2?b2，
????r??r???(absint,?abcost,a2)?a(bsint,?bcost,a)，|r??r??|?aa2?b2. ?r???(t)?a(sint,?cost,0) b???2所以(r?,r??,r???)?ab，??2. □
a?b2课外作业：习题1(2, 4)，4，10
§ 2.5 曲线论基本定理
已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参
数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有
3?r(s),C:r?r(s)定理5.1 (唯一性定理) 设C1:r是中两条以弧长s为参数的正则E11222????参数曲线，s?[0,l]. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即
?1(s)??2(s)，?1(s)??2(s)，则有E3中的一个刚体运动?将C1变成C2.
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