2．1．1 解答：
建立球坐标系，如图2.1.1(a)所示，球表面带阴影的小面元面积为
dS?R2sin?d?d? （1）
面元上的电荷量为
dq??dS??0R2cos?sin?d?d? （2）
导体上一面元dS所受的电场力等于
?2?2cos2?dF???dS?E'?dSen?dSen （3）
2?02?0式中：E'为除了面元dS外其他电荷在dS所在处的场强。
以z=0平面为界，导体右半球的电荷为正，导体左半球的电荷为负。根据对称性，面元所受力垂直于z轴的分量将被抵消，因而，只需计算面元dS所受的电场力的z分量，即
?02cos2?dFz?cos?dSk
2?0将（1）式代入（4）式，对右半球积分，注意积分上下限，得
??/2?022?2???02R23F右???Rcos?sin?d??d??k?k
0?02?0?4?0??左半球所受的力为
??02R2F左??k
4?02．1．2 解答：
如图2.1.2所示，设A、B两块板的4个表面的电荷面密度分别为?1、?2、?3、?4，两板间的电场强度为
E?代入数据求得两板间的电场强度的大小
U dE?105V/m
?2???3??0E?8.9?10?7C/m2
?1??4?0
A和B板上电荷量为
qA??qB??2S??0ES?3.2?10?10?C
2．1．3
解答：
（1）设各板表面的面密度由左至右电荷为?1,?2,?3,?4,?5,?6，即有?2???3,?4???5。由于B、C板接地，故两板的外侧电荷面密度?1??6?0。设A、B板的距离为x，则A、C间的距离为d?x，因UAB?UAC，故有
EIIx?EIII(d?x)
式中：
EII?得
?3??2??,EIII?4 ?0?0?0??2d?x x?4因
??4?联合解得
QQ??3???2 SS?2?从而知?5??x?dxQ,?4?Q SdSdxQ SdqB?q2?x?dQ dxQ d求得B板的电荷
C板的电荷
qC?q5??（2）各区的场强分别为
EI?EIV?0,EII?d?xxQeAB,EIII?QeAC ?0Sd?0Sd设r为A到场点的距离，则各区的电势分别为
VI?VIV?0,VII?2．1．4
解答：
d?xxQ(x?r),VIII?Q(d?x?r) ?0Sd?0Sd由左至右各板表面的电荷密度为?1、?2、?3、?4，因qB?0，所以
?1??4?两板之间的电场强度大小为
qA?qBqAq?qBqA?,?2???3?A? 2S2S2S2SE?两板之间的电压为
?2q?A ?02?0SqAd 2?0SU?Ed?B接地后，各板表面的电荷密度为?1',?2',?3',?4'，有
?1'??4'?0,?2'???3'?两板之间的电场强度大小为
qA SE'?两板之间的电压为
?2'qA ??0?0SqAd ?0SU'?E'd?2．1．5 解答：
金属球内为等势区，电势值为U，面上各点的感应电荷面密度?'分布不均匀，设球上电荷的总电荷量为q’，取球心为O，该点的电势为所有电荷在该点电势的总贡献，按电势叠原理
U?U0?解得
q4??0?2R?????'dSqq' ??4??0R4??0?2R?4??0Rq 2q'?4??0RU?2．1．6 解答：
（1） 仿照教材2.1.4例6的分析
En?B??E1n?B??E2n?B??E3n?B?
并知E3n?O??0。半无限长带电直线在紧邻O点的导体板内产生的场强为
E1n?O??ELn?O?
ELn?O????d?dl?i?i
4??0x24??0d而与O点紧邻的面元电荷对板内产生的场强为
E2n???O?i 2?0所有电荷在导体板内紧邻O点的合场强为0，即
ELn?O??E2n?O??0
解得垂足O点的电何密度
??O???? 2?d（2）同理，P是导体面距O点r处的一点，先求半无限长带电直线在导体板内紧邻P处激发的场强法线分量
ELn?P????ldld?l2?d23/2???4??01r?d22
ELn?P??E2n?P??0
因E2n?P????P? 2?0?2?1r?d22解得距O为r的点P的感应电荷面密度
??P???
2．2．1 解答：
由于电荷q放在空腔的中心，在导体壳内壁的感应电荷?q及壳外壁的电荷q在球壳内、外壁上均匀分布，这些感应电荷在球腔内产生的合场强为0；壳内电荷与球壳内壁在壳外产生的合场强为0，因此，壳内、壳外的电场表达式相同，距球心为r处的场强均表示为
E?r??q4??0r2er ?r?R1或r?R2?
距球心为r?0?r?R1?处电势为
V内??E内?dr??E外?dr?rR2R1?q?111????? ?0?r?R1? 4??0?rR1R2?在导体球壳内场强和电势分别为
E壳(r)?0 (R1?r?R2)
V壳?q4??0R2 (R1?r?R2)
球壳外的电场由壳外壁电荷激发，壳外的电势为
V外??E外?dr?r?q4??0r ?R2?r?
场强大小E和电势V的分布如图2.2.1(a)和(b)中E?r曲线和V?r曲线所示。 2．2．2 解答：
球形金属腔内壁感应电荷的电荷量为?q，由于点电荷q位于偏心位置，所以腔内壁电荷面密度分布?内不均匀，球形金属腔外壁的电荷量为Q?q，腔外壁电荷面密度?外均匀分布。根据电势叠加原理，O点的电势为
?内dSQ?qq?111?Q VO???????????4??0r4??0a4??0b4??0?rab?4??0bq2．2．3
解答：
（1）A的表面S1及B的内外表面S2、S3的电荷量q1,q2,q3分别为
q1?QA,q2??QA,q3?QA?QB
（2） A的电势VA可用不同的方法求得：
(a)用电势叠加原理求A的电势VA，即将金属球B分为内外壁讨论，因A为金属球，球内电势处处相等，球心处电势叠加的结果为
VA?1?QAQB????
4??0?RARB?（b）用场强E积分求A的电势VA，即
VA??Q?Q1?RBQA1?QAQB??ABdr?dr???? ??RA2?2?RB4??0?rr?4??0?RARB?球壳B的电势VB可用球壳场强E外?QA?QBer，沿径向积分求得 24??0rVB?QA?QB1?QA?QB?dr??? 2?RB4??0r4??0?RB?1?（3）将球壳B接地后，导体A的表面S1及B的内、外表面S2、S3的电荷量q1,q2,q3分别为
q1?QA,q2??QA,q3?0
可求得导体A的电势为