UAB?求得
q2?500V CABUAE?UAB?UBE?700V
2．3．7 解答：
各个电容器的标号如图2.3.7所示。设U?UAB,C?CAB，则有
Q?CU
在A、B、D、E4个连接点列出独立的3个电荷量的方程
Q?q1?q4 ?q1?q2?q5 Q?q3?q5 3个电压的方程
U?UAD?Uq4DB?4?F?q34?F U?UAE?U1EB?q4?F?q54?F U?Uq1AE?UED?UDB??q2qF10?F?34?4?F由（1）、（3）两式得
q1?q4?q3?q5 由（4）、（5）两式得
q3?q4?q1?q5 由（7）、（8）两式得
q4?q5,q1?q3 将（1）、（9）两式代入（5）式，得
U?114?F??q1??Q?q1????4?FQ 按电容器定义，有
1）2）3）4）5）6）7）8）9） （ （ （
（ （ （ （
（
（
C?Q?4?F U2．5．1 解答：
串联时，两电容器的电荷量相同，电能之比为
Q2W12C1C22??? QW2C1122C2并联时，两电容哭的电压相同，电能之比为
C1U2W1C1?22?1? W2C2UC2222．5．2 解答：
将3个电荷分别编号为1、2、3，如图2.5.2所示。 （1）按定义
q?qV21?k,V12?k
aa?q?qV31?k,V13?k
2a2aq?qV23?k,V32?k
aa电荷1与电荷2之间的相互作用能为
1?q2 W12??qV121?q2V12??24??0a电荷1与电荷3之间的相互作用能为
1q2 W13??qV131?q3V13??28??0a电荷2与电荷3之间的相互作用能为
1?q2 W23??q2V32?q3V23??24??0a（2）电荷系统的相互作用能为
W123?3q2 ?W12?W23?W13?8??0a2．5．3 解答：
电荷量为Q的带电导体球的电荷面密度为
??Q 4?R2半径为R、电荷量为Q的带电导体球的电势为
V?带电导体球的静电能为
Q4??0R
1Q2 W????VdS?28??0R2．5．4
解答：
均匀带电球体的电荷体密度??Q，距球心r处的电势为 4?R33R3??R?r?22 dr??dr??r?3R??2R3?03?0r6?0V?r???E内?dr??E外?dr??rRR?r均匀带电球的静电能为
11???4?R523Q2222 W?????VdV?????????3R?r?rsin?drd?d??22?6?0?15?020??0R
思考题选答 2．3 解答：
（1） 不正确。小球的电势应大于零。因为小球为中性导体球，放在带电大球旁边，由于
静电感应，应出现异号电荷，大球不可能出现异号电荷（见思考题2.5）。大球面上的正电荷发出的电场线将终止在小球的负电荷上或终止在无限远处。假如小球的电势小于零，则小球面上的负电荷必终止来自无限远的电场线，这将导致小球面上的正电荷发出的电场线没有“归宿”的悖论。
（2） 不正确。因为大球的电荷已不是均匀分布 （3） 正确。 2．4 解答： （1）（a）；（2）（e）；（3）（e）；（4）（b）。 (1)因为E表示总电场，导体球的电荷密度的分布取决于所有电荷产生的电场的影响和制约，
在A点的电荷密度??A?的数值就反映了总电场E的影响。因总电场在导体球内的电场为0，因此，以C点作一柱面底面上一点，作一穿入导体表面进入导体的短柱体，根据高斯定理可证E?C????A?en?0。而答案（b）却是球面上位于A的面元?S（对C而言可看作无
限大平面）的电荷在C点产生的电场（方向垂直导体表面），或是除?S外所有电荷（包括2上的电荷）激发的场强。
（2）因2是金属长方块，题目没有指明导体块是无限大，板的右侧有可能存在感应电荷，而金属长方块上的电荷难以掌握，因而长方块上全部电荷在D点产生的电场E2?D?就难于确定，所以应选取答案（e）。 答案（a）是所有电荷在D点产生的电场（方向垂直导体表面）；答案（b）却是金属长方块2上位于B的面元?S'（对D而言可看作无限大平面）上的电荷在D点产生的电场，但不是长方块上全部电荷在D点产生的电场E2?D?（也E'2?S'?D?（方向垂直导体表面）
不是E2n?D?），如果长方金属块可视为无限大，感应电荷都在板的左侧，就可以选择答案（b），因为金属板2左侧的感应电荷犹如一无限大带电平面，虽然电荷分布不均匀，但是对
于过球心垂直于方块的垂线，板2上电荷分布具有对称性，除位于B的面元?S外板2上其他电荷在垂线各点激发的电场均沿此垂线，即只有垂直导体板表面方向的分量，当D点距板2很近时，除位于B的面元?S'外板2上其他电荷在D点产生的电场E2''在垂直导体板表面方向的分量E2n''?D??0，因此，无限大导体板2的全部电荷在D点激发的场强E2?D?的法线分量就等于位于B的面元?S'在D点激发的场强的大小，即E'2?S'?D??E2n??。 2?0（3）因导体球1上的电荷分布难以掌握，因此1上全部电荷在C点产生的电场E1?C?就难于确定，所以应选取答案（e）。 答案（a）是所有电荷在C点产生的电场；答案（b）是在球面上位于A的面元?S（对C而言可看作无限大平面）上的电荷在C点产生的场强（方向垂直导体表面），或是除?S外所有电荷（包括2上的电荷）激发的场强。
（4）根扰前几题的分析，只有答案（b）是正确的，即E1'?C?是除?S外所有电荷（包括2上的电荷）激发的场强（方向垂直导体表面）,也是1上位于A的面元?S在C点激发的电场。 2．5 解答：
不可能，用反证法证明。假定出现图中所示的情况，设?SM?是M表面上某个??0的面元，则由它发出的电场线只有两种可能的“归宿”：一是终止于N的负电荷；二是终止于无穷远处。
先评论第一种情况：若电场线终止于N的负电荷处，说明VM?VN，这时，由N上的
正电荷发出的电场线就不能终止于N自身的负电荷，也不能M上的负电荷，只可能终止于无穷远，于是有VN?0。但假设前提是M还有负电荷存在，这些负电荷必定要终止电场线，终止于这些负电荷的电场线既然不能来自于N（已知VM?VN），只能来自无穷远，于是
VM?0。这就与上面的结论（VM?VN?0）矛盾，参看图2.5(a)。
第二种情况是M上的正电荷发出的电场线终止于无穷远，说明VM?0。设?SM?是M
表面上某个??0的面元，则它终止的电场线只能来自于N，于是有VN?VM?0。但是按假设前提N上还应有负电荷，它必须终止电场线，终止于它的电场线不能来自于M的正电荷，就只能来自无限远，于是VN?0。但这与上面的结论VN?VM?0矛盾，参看图2.5(b)。 因而说明图2.5上所示的情况是不可能存在的。我们可以断言带正电荷M周围置入一中性导体，M的电荷分布会发生变化，但其表面决不可能出现负电荷。 可以通过类似的方法证明：空间上若有n个导体，这n个导体中决不能出现每个导体自身都有异种电荷的分布。换句话说，至少有一个导体的电荷面密度均为同号。这个结论，我们可以用下述反证法加以证明：假定n个导体自身都有异号电荷，那么每个导体上的正电荷必发出电场线，其上的负电荷必终止电场线，这就说明每一个导体的电势都是既非电势最高者，亦非电势最低者，这就必须除了n个导体外，还有一个电势最高者和一个电势最低者，而剩下的无限远处（或称为地）可称为第n+1个导体，它只能占有一个电势值，若第n+1个导体占有了电势的最高值，就无法充当电势最低值，反之亦然，因而说明假设前提是错误的。 2．7 解答：
用反证法，假定A带正电而又不是电势最高者，则说明导体A上有的地方电荷面密度为负，从而有电场线终止于导体A上，这些电场线或来自于壳M，或来自于导体B上的正电荷，我们分别加以讨论。
（1）如果来自于B的正电荷，则说明VB?VA，但因为导体B为中性导体，所以在它
上面必有负电荷，终止于这些负电荷上的电场线，显然不能来自导体B自身，只可能来自壳M上的正电荷，因而有VM?VB?VA。但由于导体A所带的电荷量为正，所以A上的正电荷必发出电场线，但是这些电场线却没有去处：既不能终止于导体B，又不能终止于壳上，参看图2.7(a)。
（2）若来自于壳M的正电荷，则说明VM?VA，而因A带正电，A的正电荷发出的电
场线只能终止于B，即有VM?VA?VB。但B是中性导体，它面上的正电荷发出的电场线将没有归宿。因此说明导体A上不可能有负电荷，或者说不可能有任何电场线终止于A上。从而证明带正电的导体A必发出电场线终止于导体B或壳M上，所以导体A为电势最高者。 同理，若导体A有负电荷，但又不是电势的最低者，意味着A上有的地方面电荷密度为正。从A发出的电场线终止于导体B或终止于壳M上的负电荷，我们分别加以讨论。