16 5．解：(1) 挑选成功的概率p?1C48?170；
??1?(2) 设10随机挑选成功的次数为X，则该X~B?10，?，
70?设10随机挑选成功三次的概率为：
P{X?3}?C10(3170)(1?k170)7?0.00036，
以上概率为随机挑选下的概率，远远小于该人成功的概率3/10=0.3，因此，可以断定他确有区分能力。
（B）
?0,x?0??13x,0?x?1?1. 解：由概率密度可得分布函数F(x)???1,1?x?3
?3?1??2(x?3),3??39x?6?1,x?6由于P?X?k??23，即F(k)?13，易知1?k?3；
?2. 解： X服从（?1,2）的均匀分布，f(x)??1，?1?x?2??1，X?0,?3?0，其他，又Y?? ??1，X?0,则P?Y?1??P{X?0}??2220f(x)dx?13x0?3，
P{Y??1}?P{X?0}?1-P{X?0}?13
所以Y的分布律为 Y2 -1 1 P 1 2 33
3. 解：F33Y(y)?P[1?3X?y]?P{X?(1?y)}?1?FX[(1?y)]，
f(y)??F??F[(1?y)3]?'??f?3??3??2f3YY(y)??1?X(1?y)(1?y)?3(1?y)X?(1?y)??3(1?y)2??1?(1?y)6?,y?R；
4. 证明：因fx(x)是偶函数，故fx(?x)?fx(x)，
FY(y)?P{Y?y}?P{?X?y}?P{X??y}?1?P{X??y}?1?Fx(?y) 16
所以
17 f'Y(y)?FY(y)?fx(?y)?fx(y).
5. 解：随机变量X的分布函数为
?0 , x?1 F(x)???3x-1, 1?x?8，显然F(x)?[0,1]，
??1, x?8 FY(y)?P{Y?y}?P{F(X)?y}，
当y?0时，{F(X)?y}是不可能事件，知FY(y)?0，
当0?y?1时，FY(y)?P{3X?1?y}?P{X?(1?y)3}?y， 当y?1时，{F(X)?y}是必然事件，知FY(y)?1， ?0 , y?0即 F(y)??Y?y, 0?y?1。
??1, y?16. （1）FY(y)?P{Y1?y}?P{2X?1?y}?P{X?y-112}
?1y-1y?1当
y2?0时，即y?1时，FY1(y)?P{X?2}??20-?dx?0，
y?1?1当2?0时，即y>1时，Fy-1y1?y}??2e?xY1(y)?P{X?20dx?1-e2，所以
?11?yf??2，y?1Y1(y)??2e；
?0,y?1，其他（2）FY({2y)?P{Y2?y}?PeX?y}，
当y?0时，{eX?y}为不可能事件，则FXY2(y)?P{e?y}?0，
当0?y?1时，lny?0，则F{eXY2(y)?P?y}?P?X?lny???lny，??0dx?0 当y?1时，lny?0，则FxY2(y)?P?X?lny???lny0e?dx?1?1，
y根据fY(2y)?FY?(2y)得
?0, f?y ?1Y2(y)??1；??y2,y?1
（3）F2Y()3y?P{Y3?y}?P{X?y}， 当y?0时，F2Y()3y?P{X?y}?0， 当y?0时，FY3(y)?P{X2?y}?P??y?X?y???yx0e?dx?1?e?y，
17
18 ?0, y?0??y所以 fY3(y)??e；
,y?0?2y??2e?2x,x?07. (1) 证明：由题意知f(x)??。
,x?0?0Y1?e?2x，FY（y）?P{Y1?y}?P{e11?2X?y}，
当y?0时，FY（y）?0即fY（y）?0， 1当0?y ?1时，FY(y)?P{e1?2X?lny???y}?P?X???2??????lny22e?2xdx?y，
当y?1时，FY(y)?P?X?1???lny???2????02e?2xdx?1，
?1,0?y?1故有fY1(y)??，可以看出Y1服从区间（0，1）均匀分布；
0, ?（2） Y2?e?2x，FY2(y)?P{Y21?y}?P{1-e?2x?2X?y}?P{e?2X?1-y}
当1?y?0时，FY2(y)?P{e 当0?1?y?1时，
FY（(y)）?P{e2?2X?1-y}?1，
?ln(1?y)???1-y}?P?X???2???2X?ln(1?y)?202e?2xdx?y，
当1?y?1时，FY(y)?P{e2?ln(1?y)???1-y}?P?X???2???ln(1?y)?2??0dx?0，
由以上结果，易知fY(y)??2?1,0?y?1?0, ，可以看出Y2服从区间（0，1）均匀分布。
第三章
1解：(X,Y)取到的所有可能值为(1,1),(1,2),(2,1)由乘法公式：
P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1|X=1|=2/3?1/2=/3 同理可求得P{X=1,Y=1}=1/3; P{X=2,Y=1}=1/3 (X,Y)的分布律用表格表示如下：
Y X 1 2 1 1/3 1/3 2 1/3 0 2 解：X，Y所有可能取到的值是0, 1, 2 18
19 (1) P{X=i, Y=j}=P{X=i}P{Y=j|X=i|= 错误！未找到引用源。, i,j=0,1,2, i+j?2 或者用表格表示如下：
Y X 0 1 2 0 3/28 9/28 3/28 1 6/28 6/28 0 2 1/28 0 0 (2)P{(X,Y)?A}=P{X+Y?1}=P{X=0, Y=0}+P{X=1,Y=0}+P{X=0,Y=0}=9/14 3 解：P(A)=1/4, 由P(B|A)=源。 由P(A|B)=
P(AB)P(B)?1/2得错误！未找到引用源。P(B)=1/4
P(AB)P(A)?P(AB)1/4?1/2错误！未找到引用源。得P(AB)=1/8错误！未找到引用
(X,Y)取到的所有可能数对为(0,0),(1,0),(0,1),(1,1),则
P{X=0,Y=0}=错误！未找到引用源。)P(AB)=P(错误！未找到引用源。 错误！未找到引用源。(A)-P(B)+P(AB)=5/8 P{X=0,Y=1}=P(错误！未找到引用源。B)=P(B-A)=P(B)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=0}=P(A错误！未找到引用源。)=P(A-B)=P(A)-P(AB)=1/8 P{X=1,Y=1}=P(AB)=1/8 4.解：(1)由归一性知：
1=错误！未找到引用源。, 故A=4 (2)P{X=Y}=0
(3)P{X F(x,y)=错误！未找到引用源。 即F(x,y)=错误！未找到引用源。 5.解：P{X+Y?1}= 6 解：X的所有可能取值为0,1,2,Y的所有可能取值为0,1,2, 3. P{X=0,Y=0}=0.53=0.125; 、P{X=0,Y=1}=0.53=0.125 19 ??f(x,y)dxdy???1201?x(x?2xy3)dydx?6572 x?y?120 1212P{X=1,Y=1}=C20.5?0.5?0.25, P{X=1,Y=2}=C20.5?0.5?0.25 P{X=2,Y=2}=0.53=0.125, P{X=2,Y=3}==0.53=0.125 X,Y 的分布律可用表格表示如下： Y X 0 1 2 P.j ?e?y,7. 解：f(x,y)???0,??0 1 2 3 Pi. 0.125 0 0 0.125 0.125 0 0 0.25 0.5 0.25 1 0.25 0.25 0 0 0.375 0.125 0.375 0.125 0.125 0?x?y其它 ????y?edy,fX(x)??f(x,y)dy???x???0,??y?y?edx,fY(y)??f(x,y)dx???0???0,????e?x,??0,x?0?x?0?ye?y,??0,y?0?y?0x?0x?0 y?0y?0 ?cx2y,8. 解：f(x,y)???0,x?y?1x?01122 (1)1???????????f(x,y)dxdy????1xcxydydx?2c?x20121?x24dx?4c21 所以 c=21/4 ??(2) fX(x)?????21?f(x,y)dy??4??yy?12xxydy,0，2?21x2(1?x4)|x|?1?,??8?其它0,?|x|?1其它 ?21???fY(y)??f(x,y)dx??4??????xydx20，5?20?y?1?7y??2?其它?0,0?y?1 其它 20