36 最大，应该生产多少件产品？（设m,n,?均为已知）.
解：设生产x件产品时，获利Q为销售量Y的函数 y ?mY?n(x?Y),0?Y?x? Q Q ( Y ) ? ? 0< y mx,Y?x? y?1 ? x ?e? , y?0,??0Y的边缘密度函数为f(y)??Y ??0,y?0? yy??x??11??? E(Q)??Q(Y).fY(Y)dy???my?n(x?y)?e.dy??mx.edy??0x?? yyy???xx????? ??(m?n)yde?nxde??0?0?xmxde yyyy?????x?xx ??(m?n)ye??e??m?n?dy??nxe??mxe???00x?0?? ??xyxx ????x??(m?n)xe???m?n??e?0?nxe??nx?mxe? x? ???(m?n)?e??m?n??nx xx???dE(Q)1? 令??(m?n)?e?????n?(m?n)e??n?0dx??? x?nn ?则e?,?x???lnm?nm?n x2 dE(Q)m?n??又??e?0 dx?n ?当x???ln时，E(Q)取最大值m?n2. 设卖报人每日的潜在卖报数为X服从参数为?的泊松分布，如果每日卖出一份报可获报酬m元，卖不掉而退回则每日赔偿n元，若每日卖报人买进r份报，求其期望所得及最佳卖报数。 解： 设真正卖报数为Y ,则 ?XY???rX?rX?r?k????e,k?rk!?的分布为P?Y?k???k?????,k?r?e??k?rk!，Y 设卖报所得为Z ,则Z 与Y 的关系为 ?my?n?r?y?Z?g?Y????mr?r?1k?E?g?Y??????k?0k!?Y?rY?r ??e?????km??r?k?n????kk??????i?rk!?e??mr??k??k?m?n??r?1k?0r?2k!kee????nr?r?1k?0r?1kk!kee????mr?r?1k?0k!e??k????mr???k?0k!?e?????? ??m?n??????k?0k!?nr?k?0???k!?mr 36 37 当给定m,n,λ之后，求r，使得E(g(Y))达到最大. 用软件计算??100,m?10,n?0时E?g?Y???100,此时r?150 (B)组题 1. 已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求： (1) 乙箱中次品件数X的数学期望； (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率． 解：(1) X的可能取值为0，1，2，3，X的概率分布律为 P{X?k}?C3C3C63k3?k， k=0,1,2,3. 即 X 0 1 2 3 pi 因此 E(X)?0?120?1?920?2?920?3?120?32. 120 920 920 120 (2) 设A表示事件“从乙箱中任取一件产品是次品”，由于{X?0}，{X?1}，{X?2}，{X?3}构成完备事件组，因此根据全概率公式，有 3 P(A)??P{Xk?03?k}P{AX?k} k613 =?P{X?k}?k?0?kP{X?6k?0?k} = 16E(X)?131??. 6240?x??，对X独立重复观察4次，用Y表示观察值大其他x?1?cos,2. 随机变量X的概率密度为f(x)??22?0,?于 ?3的次数，求Y 2的数学期望 解：依题意，Y~B(4, p), p=P{X > ?3}= ???/3f(x)dx????/312cosx2dx?sin2 x2???/312 2 所以E(Y)= 4p =2，D(Y)= 4p(1-p)=1， E(Y) = D(Y)+[E(Y)]=1+4=5 3. 设随机变量U在区间(-2，2)上服从均匀分布，随机变量 ??1,X???1,若U??1;若U??1??1,Y???1,若U?1. 若U?1试求：(1)X和Y的联合分布律；(2)D(X?Y)． 37 38 ?1, 解：(1) fU(u)???4??0,?2?u?2 其他?1P{X =-1, Y =-1}= P{U ≤-1且U ≤1}= P{U ≤-1}=?P{X =-1, Y =1}= P{U ≤-1且U >1}= 0， P{X =1, Y =-1}= P{-1 14?1du?12， 2P{X =1, Y =1}= P{U > -1且U >1}= P{U > 1}=?所以X和Y的联合分布律为 X -1 Y -1 1 1/4 0 1/2 1/4 X pi Y 1 141du?14， (2) X和Y的边缘分布律分别为 – 1 1/4 – 1 1 3/4 1 pi 3/4 1/4 所以E(X)= -1/4+3/4=1/2，E(Y)= -3/4+1/4=-1/2，E(XY)= 1/4-1/2+1/4=0， E(X2)= 1/4+3/4=1，E(Y2)=1，D(X)=1-1/4=3/4，D(Y)=1-1/4=3/4， Cov(X，Y)=1/4，D(X+Y)= D(X)+ D(Y)+2 Cov(X，Y)=3/4+3/4+2/4=2 4. 设随机变量X的期望E(X)与方差D(X)存在，且有E(X)?a,D(X)?b(b?0)，Y?E(Y)?0,D(Y)?1． X?ab，证明 证明：首先证明E（Y）存在 (1) 若随机变量X为离散型随机变量，分布律为：P{X?xi}?pi,i,?1,2,? 则由E(X)存在知，E(X)?记Y?X?ab???xi?1ipi绝对收敛，且E(X)?a, ??g(X),则?g(xi)pi?i?1?i?1?xi?a??b??1?p??ib???i?1xipi?ab绝对收敛， 所以E（Y）存在，E(Y)?E???X?a??X?a,??0D(Y)?D???b?b???D(X)???1 ?b?(2) 若X为连续型随机变量，其概率密度为f(x),则： 38 39 由E?X?存在知则???????xf?x?d?x?绝对收敛。1???xf?x?d?x???????bX?ab??f?x?d?x????????af?x?d?x????1???xf?x?d?x??????b?a???a?绝对收敛??因为?????xf?x?d?x?绝对收敛，所以?X?aE?Y??E??b?1???xf?x?d?x???????b 即E?Y?存在，且?X?aD?Y??D??b??11???E?X??a??0?EX?a???bb??11???D?X?a??D?X??1b?b2 5. 设离散型随机变量X的分布律为P{X?xk}?pk,(k?1,2,?)，且E(X)，E(X )，D(X)都存在，试证明：函数f(x)???(xk?1k2?x)pk在x?E(X)时取得最小值，且最小值为D(X)． ?证明：令df(x)??2?(xk?x)pk?0， dxk?1?则??xkpk?k?1???xpk?1?k?0， ??xk?1kpk?x?pk??E(X)?x?0，所以，x?E(X) k?1又 df(x)dx22?1?0，所以x?E(X)时，f(x)????(xk?1k2?x)pk取得最小值，此时 f(E(X))??(xk?1k?E(X))pk?D(X) 2 6. 随机变量X与Y独立同分布，且X的分布律为 X pi 记U?max(X,Y),V?min(X,Y)， (1) 求(U，V)的分布律； (2) 求U与V的协方差Cov(U，V). 解：(1) (X ,Y)的分布律 Y 1 X 1 2 (X ,Y) pij U V 4/9 2/9 2 2/9 1/9 （1，1） 4/9 1 1 （1，2） 2/9 2 1 （2，1） 2/9 2 1 （2，2） 1/9 2 2 39 1 2/3 2 1/3 40 V 1 U 1 2 4/9 4/9 2 0 1/9 (2) E(U)= 4/9+2×5/9=14/9， E(V)= (4/9+2/9+2/9)+ 2×1/9=10/9， E(UV)= 4/9+2×4/9+4×1/9=16/9, Cov(U，V)=16/9-140/81=4/81 7. 随机变量X的概率密度为 ?1/2,?fX(x)??1/4,?0,??1?x?00?x?2 其它令Y?X2,F(x,y)为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求Cov(X，Y)． 解： E(X)??????xfｘ(x)dx?2?30?11/2xdx??02021/4xdx?1/4E(Y)?E(X)?3?????xfｘ(x)dx???2?0?1x/2dx??20x/4dx?5/62E(XY)?E(X)????xfｘ(x)dx?3??1x/2dx?23?20x/4dx?7/83 则：Cov(X,Y)?E(X)?E(X)E(X)?7/8?(1/4)?(5/6)?2/38. 对于任意二事件A和B，0 < P(A) < 1，0 < P(B) < 1，??P(AB)?P(A)?P(B) P(A)P(B)P(A)P(B)称作事件A和B的相关系数． (1) 证明事件A和B独立的充分必要条件是其相关系数等于零． (2) 利用随机变量相关系数的基本性质，证明??1． 证明: (1) ?0?P?A??1 0?P?B??1 ?P(A)P(B)P(A)P(B)?0 , ??0?P?AB??P?A?P?B??0?P?AB??P?A?P?B? 即??0是事件A和B独立的充分必要条件(2) 考虑随机变量X和Y １，A出现?X＝?０， A不出现?１，B出现? Y＝? ０， B不出现? 40