26 当y?0时，FY(y)?P{?y?X?y}?FX(y)?FX(?y)
??1[fX(从而，fY(y)????2yy)?fX(??3,0?y?1?8y???1,1?y?4 y)]???8y????0，y?4(2) F(-1/2,4)=P{X?-1/2,Y?4}= P{X?-1/2,X2?4} =P{-2?X?-1/2}=??12?2fX(x)dx???1212?1dx?14
4.解：P{XY?0}=1-P{XY=0}=0 即 P{X=-1,Y=1}+P{X=1,Y=1}=0
由概率的非负性知，P{X=-1,Y=1}=0，P{X=1,Y=1}=0
由边缘分布律的定义，P{X=-1}= P{X=-1,Y=0}+ P{X=-1,Y=1}=1/4 得P{X=-1,Y=0}=1/4
再由P{X=1}= P{X=1,Y=0}+ P{X=1,Y=1}=1/4 得P{X=1,Y=0}=1/4
再由P{Y=1}=P{X=-1,Y=1}+ P{X=0,Y=1}+ P{X=1,Y=1}= P{X=0,Y=1} 知P{X=0,Y=1}=1/2
最后由归一性得：P{X=0,Y=0}=0 (X,Y)的分布律用表格表示如下：
Y X -1 0 1 P{Y=j} 0 1/4 0 1/4 1/2 1 0 1/2 0 1/2 P{X=i} 1/4 1/2 1/4 1 (2) 显然，X和Y不相互独立，因为P{X=-1,Y=0}? P{X=-1}P{Y=0}
??5 解：X与Y相互独立，利用卷积公式fZ(z)????fX(x)fY(z?x)dx计算
26
27 ??)2?1f1?(xX(x)?2??e2?2, f?,y?(???2?,?)Y(y)? ??0,其它?(x??)2f)f??1??e2?2,???z?x??X(xY(z?x) ?2??2??0,其它??22fZ(z)??fX(x)f?1?(x??)2?2?(x??)1z??1e2?2Y(z?x)dx??z?z????2??2?edx?2??z???2?dx?12?P{z???X?z??}?12?[F(z??)?F(z??)]
1?2?????z??????????z??????????????? ?6.解：(X,Y)～Ｕ(G)
?f(x,y)??1?2,(x,y)?G ??0,其它设F(x)和f(s)分别表示S=XY的分布函数和密度函数 F(s)=P{XY ?1,s?2s?0时，F??S?s12s ??1x1?0?02dydx??s?02dydx?0,s?0?所以，F?ss2S???ln,s?22s?2 ??1,s?2于是，S=ＸY概率密度为 ?12f???2lns,0?s?2S(s) ??0,其它7.解：由全概率公式： FU(u)=P{U?u}={X+Y?u} =P{X=1}P{X+Y?u|X=1}+ P{X=2}P{X+Y?u|X=2} 27 28 = P{X=1}P{1+Y?u}+ P{X=2}P{2+Y?u} =0.3?FY(u-1)+0.7?FY(u-2) 所以，fU(u) =0.3?fY(u-1)+0.7?fY(u-2) 8. 解：(1) f(x,y)???1,?0,0?x?1,0?y?x其它 fX(x)???????2x1dy,0?x?1?f(x,y)dy???0??它?0,其?2x,0?x?1 ?0,其它?y?11dx,0?y?2?????y?1?,0?y?2 fY(y)??f(x,y)dx??2??2???0,其?0,其它它??(2) FZ(z)?P{Z?z}?P{2X?Y?z}?如图所示，当z<0时，FZ(z)=0; 当z?2时，FZ(z)=1 z??f(x,y)dxdy 2x?y?z 当0?z<2时:FZ(z)?综上所述， ?0.??FZ(z)??z???1,?z?0z2??202x01dydx???z212x2x?z1dydx?z?z24 4,0?z?2 z?2它?0,其?所以Z的概率密度为：fZ(z)?? z?1?,0?z?22?9.解：(1) fX(x)???1,?0,0?x?1其它 fY|X?1?,0?y?x,0?x?1 (y|x)??x?0,其它??1?,0?y?x?1 f(x,y)?fY|X（y|x)fX(x)??x?0,其它? 28 29 ?11(2) f0?y?1Y(y)??????f(x,y)dx????yxdx,0?y?1???lny,???0,其它?0,其它 (3) P{X?Y?1}???f(x,y)dxdy??1dydx?1?ln2 0.5?x11?xx?y?1x10.解：(1)P{Z?1/2|X=0}=P{X+Y?1/2|X=0}=P{Y?1/2}=1/2 (2) 由全概率公式： FZ(z)=P{Z?z}=P{X+Y?z}=P{X=1}P{X+Y?z|X=1} +P{X=0}P{X+Y?z|X=0}=P{X=-1}P{X+Y?z|X=-1} = P{X=1}P{1+Y?z}+P{X=0}P{Y?z}=P{X=-1}P{-1+Y?z} =1/3?[FY(z-1)+ FY(z)+ FY(z+1)] ?从而，f?[f?1?3,?1?z?2Z(z) =1/3Y(z-1)+ fY(z)+ fY(z+1)]= ??0,其它11.解：f(x.y)?3x,0?x?1,0?y?x???0,其它 FZ(z)?P{Z?z}?P{X?Y?z}?P{Y?X?Z}???f(x,y)dxdyy?x?z如图，当z<0时，FZ(z)=0; 当z?1时，FZ(z)=1 当0?z<1时:Fzx1xZ(z)??0?03xdydx??z?x?z3xdydx?3zz32?2 ?0,z?0?综上得：F?3zZ(z)???z3,0?z?112 ?22??0,z?1?Z的概率密度为f??3?2(1?z2),0?z?1Z(z) ??0,其它x2212 解：f2X(x)?12?e?,f?y2Y(y)?12?e, 29 30 f(x,y)?fX(x)fY(y)?12?2e?x?y222 ?z} FZ(z)?P{Z?z}?P{x?y2当z<0时，FZ(z)=0; 当z?0时，FZ(z)?P{X2?Y2?z}?22??2f(x,y)dxdy?212???02?z0e?r22rdrd??1?e?z22 x?y?z??所以，Z的概率密度为fZ(z)??ze??0,?z22,z?0 其它 第四章 4三、解答题 1. 设随机变量X的分布律为 X pi 求E(X)，E(X2)，E(3X?5)． ?– 2 0.4 0 0.3 2 0.3 解：E (X ) = 2 ??xpi?1i= ??2??0.4+0?0.3+2?0.3= -0.2 E (X ) = ?xi?12pi= 4?0.4+ 0?0.3+ 4?0.3= 2.8 E (3 X +5) =3 E (X ) +5 =3???0.2?+5 = 4.4 2. 同时掷八颗骰子，求八颗骰子所掷出的点数和的数学期望． 解：记掷1颗骰子所掷出的点数为Xi，则Xi 的分布律为 P{X?i}?1/6,i?1,2,?,6 记掷8颗骰子所掷出的点数为X ，同时掷8颗骰子，相当于作了8次独立重复的试验， E (Xi ) =1/6×(1+2+3+4+5+6)=21/6 E (X ) =8×21/3=28 3. 某图书馆的读者借阅甲种图书的概率为p1，借阅乙种图书的概率为p2，设每人借阅甲乙图书的行为相互独立，读者之间的行为也是相互独立的． (1) 某天恰有n个读者，求借阅甲种图书的人数的数学期望． (2) 某天恰有n个读者，求甲乙两种图书至少借阅一种的人数的数学期望． 解：(1) 设借阅甲种图书的人数为X ，则X~B(n, p1),所以E (X )= n p1 (2) 设甲乙两种图书至少借阅一种的人数为Y , 则Y ~B(n, p), 记A ={借甲种图书}， B ={借乙种图书}，则p =｛A ∪ B｝= p1+ p2 - p1 p2 所以E (Y )= n (p1+ p2 - p1 p2 ) 4. 将n个考生的的录取通知书分别装入n个信封，在每个信封上任意写上一个考生的姓名、地址发出，用X表示n个考生中收到自己通知书的人数，求E(X)． 30